loading南京理工大学课程考试标准答案
课程名称： 概率与统计（A） 学分： 3 教学大纲编号： 11022601
试卷编号： A卷 考试方式： 笔试，闭卷 满分分值： 100 考试时间： 120 分钟
1、（15分）老板有一个不很负责的秘书.当要秘书通知张经理5h后见面时，秘书马上办理，但是只用某种方式通知一次.设秘书用传真通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.2，用电子邮件通知的概率是0.5，而张经理在5h内能收到传真的概率是0.8，能看到短信的概率是0.9，能看到电子邮件的概率是0.4. (1) 计算张经理收到通知的概率；
(2) 如果收到通知的张经理也有5%的概率不能前来见老板，计算老板不能按时见到张经理的概率.
解 设A表示张经理收到通知，A1 表示秘书用传真通知，A2表示用短信通知，A3表示用电子邮件通知；B表示老板不能按时见到张经理。??（3分）
（1）由全概率公式可得
P(A)?P(A1)P(A|A1)?P(A2)P(A|A2)?P(A3)P(A|A3)?0.3?0.8?0.2?0.9?0.5?0.4?0.62
??（6分）
（2）由全概率公式可知
P(B)?P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)?0.05?0.62?1?0.38?0.411
??（6分）
注：基本题，考察全概率公式。 2、（15分））设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，
?1?x/5?5e,x?0f(x)???0,其他?其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，她就离开.她一个月要到银行5次.以Y表示一个月内她未等到服务而离开窗口的次
}. 数.写出Y的分布律，并求P{Y?1解 该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为
P(X?10)????101???1f(x)dx??e5dx?e?2510 ??（4分）
因此YB(5,e?2)，即
k?1,2,3,4,5.
??（6分）
k?2kP{Y?k}?C5e(1?e?2)5?k,P{Y?1}?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?0.5167注：基础题，考察重要分布和分布函数求解。 3、（15分）设随机变量(X,Y)具有密度函数，
?1,|y|?x,0?x?1?f?x,y????0,其它???（5分）
求（1）求X与Y的相关系数； （2）问X与Y是否不相关； （3）X与Y是否独立，为什么？ 解 (1) E(X)??10?x?xxdydx??2x2dx?012 3x?xE(Y)??10?x?xydydx?0,
E(XY)??10?xydy?d0x ??（3分）
COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0, ?XY?0. ??（2分）
(2) X与Y不相关； ??（2分） (3) X的边缘概率密度为
?x1dy?2x,0?x?1???x???fX?x???f(x,y)dy?????0,其它?? ??（3分）
Y的边缘概率密度为
?11dy?1?y,?1?y?0???y??1f(x,y)dx???1dy?1?y,0?y?1y??0,其它?? ??（3分）
fY?y???????由此可见fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以X与Y不独立. ??（2分）
注：综合题，考察随机变量函数的数字特征与独立性。
2?19x,0?x?3?4、（15分）设随机变量X的概率密度为f?x,y???，令随机变量
?0,其它?
(1)求Y的分布函数； (2) 求概率P{X?Y}.
解 (1) 由题设条件知, P{1?Y?2}?1. 记Y的分布函数为 FY(y)，则
当y?1时，FY(y)?0; ??（2分） 当1?y?2时，
?2,X?1,?Y??X,1?X?2,?1,X?2.?FY(y)?P(Y?y)?P(Y?1)?P(1?Y?y)y112y3?182??xdx??xdx?;291927 ??（5分） 3当y?2时，FY(y)?1; ??（2分） 所以Y的分布函数为
?0,y?1,?3?y?18FY(y)??,1?y?2,?27??1,y?2. ??（1分） (2) P{X?Y}?P(X?2)??20128 ??（5分） xdx?927注：提高题，考察随机变量函数的分布。
5、（10分） 一位职工每天乘公交车上班.如果每天用于等车的时间服从均值为5min的指数分布，估算他在303个工作日中用于上班的等车时间之和大于24h的概率.
解 设Xi表第i个工作日用于等车的时间(单位：分钟)，??(1分) 由题意知Xiexp{1/5}，且Xi,i?1,2,相互独立同分布， ??(2分)
EXi?5; DXi?25 ??(2分)
由独立同分布的中心极限定理可得
P(?Xi?24?60)?P(i?1i?1303?X303i?303?5?5?30324?60?303?5)5?303?P(i?1?X303i?303?5?
5?303?15)?1??(?0.86173)?0.8051303 ??(5分)
注：基本题，考察中心极限定理。
6、（15分）设总体X的概率分布为 X P 0 1 2 2? 3 1?2? ?2 2??1???其中? (0< ? <0.5)未知,利用总体X的如下样本观察值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3, 求?的
矩估计值与极大似然估计值.
解 EX?0??2?1?2?(1??)?2??2?3?(1?2?)?3?4?， ??(2分)
x?1(3+1+3?+083+1+?2+3)2 ??(2分)
4^1?令 EX?x,即3?4??2，解得的矩估计值为??. ??(3分)
对于给定的样本值，似然函数为L(?)?4?6(1??)2(1?2?)4 ??(2分)
lnL(?)?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?) ??(1分)
dlnL(?)6286?28??24?2????,d??1??1???(1??)(1?2?) ??(2分)
令
dlnL(?)7?13?0,解得?1,2?. ??(2分)
d?12^7?1317?13?因.??(1分) ?不合题意，则的最大似然估计值为??12212注：提高题，考察矩估计与极大似然估计.
7、(15分)某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取?=0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否与过去生产的合金线抗拉强度有明显不同?
解 H0：???0?10620， H1：???0 ??(4分) 检验统计量为t?X??0sn，H0的拒绝域为W?{|t|?t?2(n?1)}
计算得x?10631.4，s?81，t?x??0sn?10631.4?10620?0.45??(5分)
8110对a?0.05自由度n-1= 9，查t- 分布表，得t?/2(n?1)?2.2622.因为
t?0.45?2.2622, ??(3分)
所以接受H0，新生产与过去生产的抗拉强度无明显不同.
??(3分)
注：基本题，考察假设检验的基本内容。