loading§２、2 对数函数 2、2、１ 对数与对数运算
1、对数的概念
一般地,假如ax=N (a〉0,且a≠1),那么数x叫做以a为底Ｎ的对数,记作ｘ=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数、
４
说明:(1)实质上,上述对数表达式,只是是指数函数y=ax的另一种表达形式,例如:3＝81与4＝log３81这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=N?x＝lｏgaＮ,从而得对数恒等式:alogａN=N、
(2)“ｌｏg”同“＋\错误!”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,只是对数运算的符号写在数的前面、
(３)依照对数的定义,对数lｏgaＮ(a＞０,且a≠1)具有下列性质: ①零和负数没有对数,即N〉0; ②１的对数为零,即ｌｏgａ1＝０; ③底的对数等于1,即lｏgaａ＝１、 2、对数的运算法则
利用对数的运算法则,能够把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然、这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度、
(１)基本公式
①lｏgａ(MN)=logaＭ＋logaＮ (a〉0,a≠１,M＞0,N＞0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和、
M
②loga=ｌogaM-logaN (ａ＞0,ａ≠1,Ｍ>0,N〉0),即两个正数的商的对数,等于被除数
Ｎ的对数减去除数的对数。
③logaMn=n·ｌoｇaM (a>０,a≠1,M＞0,ｎ∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数、
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M>0,N〉０,例如loga［(-３)×(-4)]是存在的,然而logａ(-３)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(－3)×(－４)］＝loga(—3)＋ｌoga(－4)、
②防止出现以下错误:logａ(Ｍ±N)＝loｇａＭ±logａN,ｌoga(M·N)＝lｏgaM·ｌogaN,ｌｏgａlogaＭｎ＼f(M,N)＝,ｌogａM＝(logaＭ)n、
logａN
3、对数换底公式
在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公
lｏgcN
式:loｇbＮ＝ (b>0,且b≠1;c〉0,且c≠1;Ｎ＞０)、
logcｂｘ证明 设logbN＝x,则b＝N。两边取以c为底的对数,
得xlogcb=ｌogｃＮ。因此ｘ=＼f(logｃN,logｃb),即logbN＝＼f(lｏgｃN,logｃb)。
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,马上复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用、
由换底公式可推出下面两个常用公式: (1)logｂＮ=＼f(1,lｏgNb)或ｌogｂN·logNb=１ (Ｎ>０,且N≠１;b〉0,且b≠１);
(2)loｇbnN=loｇbN(N>0;ｂ>0,且b≠1;n≠0,m∈R)
。
题型一 正确理解对数运算性质 关于a〉0且ａ≠1,下列说法中,正确的是( ) ①若M＝N,则loｇａＭ＝loｇaN;
ｍｍｎ②若logａM＝logaN,则M=N;
２
③若logaＭ2=loｇaＮ,则M=N;
２
④若Ｍ=N,则ｌｏgaM2＝lｏgaN、
A、①与③ B、②与④ C、② D、①、②、③、④
解析 在①中,当Ｍ=N≤0时,ｌogaＭ与loｇaＮ均无意义,因此logａＭ=ｌogaＮ不成立、 在②中,当ｌoｇaM=logａN时,必有Ｍ>0,N〉0,且Ｍ＝N,因此M=Ｎ成立、
在③中,当ｌoｇａM2＝lｏgａN2时,有Ｍ≠0,N≠0,且M2＝N2,即｜Ｍ｜=|Ｎ|,但未必有M=N、例如,M＝２,Ｎ=-2时,也有logaM2=lｏｇａN２,但Ｍ≠N、
在④中,若M＝N=0,则loｇaM２与logaN2均无意义,因此logａM2＝lｏｇaN2不成立。 因此,只有②成立、 答案 Ｃ
点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件、
题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值:
(1)2log32—log3＼f(32,9)＋log３8－5lｏg５3;
２
(２)lg25＋lg8＋lg５·lｇ20＋(lg2)2;
3
(3)错误!。
分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,关于复杂的真数,能够先化简再计算。
解 (１)原式＝2log３２—(loｇ332－lｏｇ39)+３lｏg32-3 ＝2ｌoｇ3２—５loｇ３2＋2＋３log32－3=—1、
10
(2)原式＝2lg5+２lg2+lg·ｌｇ(２×10)+(lｇ２)２
2＝2lg(5×2)＋(1-lｇ2)·(ｌg2＋1)+(ｌｇ2)2 ＝2+1－(lg2)2+(lg2)２=３、
13(3)∵＼ｆ(log52·ｌog79,log5·log７4)=错误!
3＝－错误!=－错误!。
点评 对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值、
题型三 对数换底公式的应用
计算:(log2125＋lｏｇ42５＋log85)(log52＋log254＋loｇ1258)。
分析 由题目可获取以下主要信息:本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同、
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值、 解 方法一 原式= 错误!错误! =错误!错误!
=错误!loｇ25·(3lｏｇ52)
＝13ｌｏｇ25·＝13。
ｌoｇ２5方法二 原式=错误!错误! ＝错误!错误! =错误!错误!＝13、
点评 方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;方法二是在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数(当然也能够换成其他非1的正数为底),然后再化简、上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法、
已知ｌog(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值、
错解 由对数的性质可得x２+3x＝ｘ＋３、 解得x＝1或x=－３。
错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于１,这点在解题中忽略了、 正解 由对数的性质知错误! 解得ｘ=1,故实数x的值为１、
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有:loga１=０,logａa=１,alｏgaN＝N (a＞0,且a≠1,Ｎ〉0)、
1。(上海高考)方程９－６·3x—7＝0的解是__＿_＿＿__、 解析 ∵9x—6·3x-7=０,即3２x—6·3x—７=０ ∴(３x－７)(3x+1)=0 ∴３x=7或3x=-１(舍去)
∴x＝ｌog37、 答案 lｏg3７
２、(辽宁高考)设ｇ(x)＝错误!则g错误!=_＿__、 解析 ｇ错误!=ln错误!<0,g错误!＝ｅln错误!＝错误!, ∴g错误!＝错误!、 答案 ＼f(１,2)
1、对数式log(a—３)(7－a)=b,实数a的取值范围是( ) A、(－∞,７) B、(3,7)
Ｃ、(3,4)∪(４,７) D、(3,+∞) 答案 C
解析 由题意得错误!解得3〈a<7且a≠4。
2、设a=ｌｏｇ３2,则log３8－２ｌoｇ36用ａ表示的形式是( ) A。a－2 B、3ａ－(1＋a)2 C、5ａ－2 D、—a2＋3a—1 答案 A
解析 ∵a=ｌog32,∴log38－2loｇ36＝3ｌｏg32-２(log3２+1) =３a－2(a+1)＝a—２、 ３、lｏg56·ｌog６7·lｏｇ78·log89·ｌｏｇ910的值为( ) A、１ B。ｌg5 C、＼f(１,lg5) D、1＋ｌg2 答案 C
解析 原式＝·＼ｆ(ｌg７,ｌｇ6)·＼ｆ(ｌg8,ｌg7)·错误!·错误!=错误!=错误!、
lｇ５
lg６
ｘlog２2