loading第三章 单元综合检测（一）
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列各式正确的是( ) A. (sina)′＝cosa(a为常数) B. (cosx)′＝sinx C. (sinx)′＝cosx 1－6－5
D. (x)′＝－x
5
解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5
)′＝－5x，只有C正确． 答案：C 2．曲线y＝
－6
xx＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为( )
B. y＝2x－1 D. y＝－2x－2
A. y＝2x＋1 C. y＝－2x－3 解析：∵y′＝xx＋
－xx＋x＋2
2
＝2x＋
2
，
∴k＝y′| x＝－1＝2－1＋
＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案：A
3．函数f(x)＝x－ln2x的单调递减区间是( ) A.?0，B.?
2
??2?
? 2?
?2?
，＋∞? ?2???
2??2??，?0，? 2??2?
C.?－∞，－D. ?－
?
?2??2?，0?，?0，? 22???
2
12x－12
解析：∵f′(x)＝2x－＝，当0 xx2答案：A 4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( ) A. f′(x)>0，g′(x)>0 B. f′(x)>0，g′(x)<0 C. f′(x)<0，g′(x)>0 D. f′(x)<0，g′(x)<0 解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0. 答案：B 5．[2014·保定调研]已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A. e 1C. e B. －e 1D. － e 解析：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)，∴切线方程11 为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝ x0x0 1. e 答案：C 12 6．[2014·山西忻州联考]函数f(x)＝x＋2cosx＋2的导函数f′(x)的图象大致是 4( ) 11 解析：∵f′(x)＝x－2sinx，显然是奇函数，∴排除A.而[f′(x)]＝－2cosx＝0有 22无穷多个根，∴函数f′(x)有无穷多个单调区间，排除C、D，故选B. 答案：B 7．[2013·课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A. ?x0∈R，f(x0)＝0 B. 函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 解析：取a＝0，b＝－3，c＝0，则f(x)＝x－3x，则f′(x)＝3(x＋1)(x－1)， 知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减．画出f(x)的简图，知C错误． 答案：C 132 8．若函数f(x)满足f(x)＝x－f′(1)·x－x，则f′(1)的值为( ) 3 33 2 A．0 C．1 解析：f′(x)＝x－2f′(1)x－1， 所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0. 答案：A 2 B．2 D．－1 9．函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1 3 2 32 B．－3 2 解析：f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，所以f′(x)＝3x＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根． 由Δ＝(2a)－4×3×(a＋6)＝4(a－3a－18)>0，解得a<－3或a>6. 答案：D 10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是( ) A. ef(a)>ef(b) C. ef(b)>ef(a) 解析：∵(＝e[fxbaab2 2 B. ef(a)>ef(b) D. ef(b)>ef(a) xabbafxe xef)′＝<0， x－exfxx2 x－fxx2 ∴y＝∴ fxe ax单调递减，又a>b， ，∴ef(b)>ef(a)． abfae b答案：D 11．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是( ) A. 在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B. 在区间(1,3)内f(x)是减函数 C. 在区间(4,5)内f(x)是增函数 D. 在x＝2时，f(x)取极小值 解析：由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4,5)内为增函数． 答案：C 12．[2013·湖北高考]已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范 围是( ) A. (－∞，0) C. (0,1) 1 B. (0，) 2D. (0，＋∞) 解析：由题知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；1 设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时， x0 1＋lnx011＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，结合图象知0 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．一物体的运动方程为s＝7t＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1. Δs解析：＝Δt2 t0＋Δt2 ＋8－Δtt20＋ ＝7Δt＋14t0， 1 当Δlim (7Δt＋14t. 0)＝1时，t0＝t→0141答案： 14 14．若函数f(x)在x＝a处的导数为A(aA≠0)，函数F(x)＝f(x)－Ax满足F′(a)＝0，则A＝__________. 解析：f′(x)|x＝a＝A，即f′(a)＝A. 又F′(x)＝f′(x)－2Ax，且F′(a)＝f′(a)－2aA＝A－2aA＝0. 1∵aA≠0，∴A＝. 2a1 答案： 2a15．[2014·唐山统考]已知a>0，函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为________． 解析：∵f(x)＝x＋ax＋bx＋c，∴f′(x)＝3x＋2ax＋b，∵函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，∴f′(x)＝3x＋2ax＋b≤0在[－2,2]上恒成立．∵a>0，∴－∴f′(x)max＝f′(2)≤0，即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12. 答案：－12 16．若函数f(x)＝__________． 4x在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是x＋1 22 3 2 23 2 2 2 2 22 2aa＝－<0，2×33 4－4x解析：f′(x)＝2 x＋ 2 2 ，令f′(x)>0，得－1 又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， m≥－1，?? 所以?m<2m＋1， ??2m＋1≤1. 答案：(－1,0] 解得－1 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)求函数y＝x的单调区间． 2 2x·2－x·2ln22x－x·ln2 解：∵y＝x，y′＝＝， x2x222x－x·ln22 解y′<0，即<0，得x<0或x>. x2ln2 22 ∴函数y＝x.在(0，)上递增，在(－∞，0)，(，＋∞)内单调递减． 2ln2ln2134 18．(12分)已知曲线y＝x＋. 33(1)求曲线在x＝2处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 解：(1)∵y′＝x， ∴在点P(2,4)处的切线斜率k＝y′| x＝2＝4. 又x＝2时y＝4， ∴在点P(2,4)处的切线方程：4x－y－4＝0. 134134 (2)设曲线y＝x＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x0＋)， 3333则切线斜率k＝y′| x＝x0＝x0， 2 22 x2 x2 x2x2 x2 1342 ∴切线方程为y－(x0＋)＝x0(x－x0)， 332342 即y＝x0·x－x0＋. 33 ∵点P(2,4)在切线上，∴x0－3x0＋4＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝－1，x0＝2. 故所求的切线方程为y＝x－2或y＝4x－4， 即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 19．(12分)[2014·河南洛阳统考]已知函数f(x)＝e＋ax－ex. x2 2 2 3 2