loading初中数学竞赛辅导资料（36）
三点共线
甲内容提要
1. 要证明A，B，C三点在同一直线上， A。 B。 C。 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角
②连结AB，AC证明AB，AC重合
③连结AB，BC，AC证明 AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 2. 证明三点共线常用的定理有：
① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤ 两圆相切，切点在连心线上
⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 乙例题
例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD
求证：M，N，P三点在同一直线上 证明：过点P作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD
∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180
∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴ M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直
线上
已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和
BD的交点
求证：M，O，N三点在同一直线上 证明一：连结MO，NO
∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线 ∴MO∥AB，NO∥AB
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M，O，N三点在同一直线上
，
证明二：连结MO并延长交BC于N
∵MO是△DAB的中位线 ∴MO∥AB 在△CAB中
，
∵AO＝OC，ON∥AB
，，，
∴BN＝NC，即N是BC的中点 ∵N也是BC的中点，
，
∴点N和点N重合 ∴ M，O，N三点在同一直线上
例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P
求证：M，N，P三点在同一直线上 证明：∵∠A＋∠B＝90，
∠APB＝Rt∠ 连结PM，PN
根据直角三角形斜边中线性质 PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC ∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B
∴PM和PN重合 ∴M，N，P三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称
点是C，求证B和C是关于原点O的对称点 Y 解：连结OA，OB，OC ∵A，B关于X轴对称， C A ∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX 同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY ∴∠COY＋∠BOX＝90 O X ∴B，O，C 三点在同一直线上 ∵OB＝OC
∴ B和C是关于原点O的对称点 B 例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1
和⊙O2于E，F。
求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例
证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN
∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径 ∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠ ∴M，B，N在同一直线上 ∴∠M＝∠E，∠N＝∠F
∴△AMN∽△AEF ∴ 丙练习36
1. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中
点 求证：M，N，P三点在同一直线上
2. 已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长
CF到H，使FH＝CF，
求证：G，A，H三点共线
3. 已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，
求证：点M在DE的延长线上（同33第5）
4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上 5. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，
求证：点O在梯形的中位线上
6. 已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点
A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G
求证：D，E，F，G四点在同一直线上
7. 已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ
使点Q和点C在PA的同一侧 求证：PQ必过点C
8. 已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线
AP的对称点
求证：点D和点B是关于点A的对称点
返回目录 参考答案