《概率论与数理统计》习题 第五章 数理统计的基本概念

第五章 数理统计的基本概念

一. 填空题

1. 设X1, X2, …, Xn为来自总体N(0, ?), 且随机变量Y?C(C=___.

n2

?X)ii?1n2~?2(1), 则常数

解.

?Xi?1i~ N(0, n?),

2

?Xi?1nin?~N(0,1)

所以

c?1,n?c?1n?2.

2. 设X1, X2, X3, X4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且Y?a(X1?2X2)?b(3X3?4X4), 则a = ______, b = ______时, Y服从?2分布, 自由度为______. 解. X1－2X2～N(0, 20), 3X3－4X4～N(0, 100)

223X3?4X4X1?2X2~N(0,1) ~N(0,1),

10020a?1,20a?1; 20b?1,100b?1. 100

Y为自由度2的?2分布.

3. 设X1, X2, …, Xn来自总体?2(n)的分布, 则E(X)?______,D(X)?_____. 解. 因为X1, X2, …, Xn来自总体?2(n), 所以

E(Xi) = n, D(Xi) = 2n (i = 1, 2, …, n)

E(X)?n, D(X)?

二. 单项选择题

D(?Xi)i?12nn?n?2n?2 2n1n21. 设X1, X2, …, Xn为来自总体N(0, ?)的样本, 则样本二阶原点矩A2??Xi的方差为

ni?12

2?4?4(A) ? (B) (C) (D)

nnn2

?2解. X1, X2, …, Xn来自总体N(0, ?2), 所以

1

(Xi?)2~?2(1),E(D(?X)2ii?12nXi?4)2?1, D(nXi?)2?2

D(A2)?n??D(?(i?1Xi?)2)??4?2nn2n22?4. (C)是答案. ?n2. 设X1, X2为来自正态总体N(?,?2)的样本, 则X1 + X2与X1－X2必 (A) 线性相关 (B) 不相关 (C) 相关但非线性相关 (D) 不独立 解. 假设 Y1 = X1 + X2, Y2 = X1－X2 所以 E(Y2) = E(X1)－E(X2) = 0.

cov(Y1, Y2) = E(Y1Y2)－E(Y1)E(Y2) = E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?0. (B)是答案.

3. 设X服从正态分布N(0, 22), 而X1, X2, …, X15为来自总体X的简单随机样本, 则随机变

2X12??X10量Y?所服从的分布为 222(X11??X15)2222(A) ?2(15) (B) t(14) (C) F(10, 5) (D) F(1, 1)

222X12??X10X11??X152解. ~?(10), ~?2(5)

442X12???X102X12??X1040~F(10,5) 所以 ~F(10,5), 即 Y?22222(X11??X15)X11???X1520(C)是答案.

三. 计算题

1. 设X1, X2, …, X10为总体N(0, 0.3)的一个样本, 求P(2

?Xi?1102i?1.44).

解. 因为X1, X2, …, X10为总体N(0, 0.32)的一个样本, 所以

Xi2~?2(10) ?2i?10.310Xi21.442?)?P(?(10)?16)?0.1 P(?X?1.44)?P(?20.09i?10.3i?1102i102. 从一正态总体中抽取容量为10的一个样本, 若有2?的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上, 试求总体的标准差. 解. 因为总体X服从N(?, ?2), 所以

X??~N(0,1). 由

?/10 2

P(|X??|?4)?0.02 知 P(|X??410|?)?0.02

??/10即 ?(?410?)?0.01,?(410?)?0.99

查表得

410??2.33,??410?5.43. 2.333. 设总体X～N(72, 100), 为使样本均值大于70的概率不小于0.95 , 问样本容量至少应取多大?

解. 假设样本容量为n, 则X~N(72,100X?72),~N(0,1)

10nn由 P(X?70)?0.95 得

P(

X?7270?72>)?0.95 1010nnn)?0.95,5n?1.65,5n?68.0625.

所以 ?(4. 设总体X服从N(?, 4), 样本(X1, X2, …, Xn)来自X, X为样本均值. 问样本容量至少应取多大才能使

i. E(|X??|)?0.1 ii. P(|X??|?0.1)?0.95 解. i. E(|X??|)?D(X)?所以 n ? 40. ii. X~N(?,),22214D(X)??0.1 nn4nX??~N(0,1). 所以 2n P(|X??|?0.1)?P(|X??0.1n|?)?0.95 22n ?(11n)?0.975, 查表得 n?1.96, n ? 1537 20203

1n5. 设X??Xi, 证明:

ni?1i.

?(Xi?1nni??)=?(Xi?X)2?n(X??)2;

2i?12nnii.

22. (X?X)?X?n(X)?i?ii?1i?1解. i.

?(Xi?1ni??)?2?(Xi?12ni?X?X??)2

nn =

?(Xi?1nni?X)?2?(Xi?X)(X??)?i?12n?(X??)i?12

=

?(Xi?1ni?X)?2(X??)(?Xi?nX)?n(X??)2

i?1 =

n?(Xi?12i?X)2?n(X??)2

nnnii.

?(Xi?X)??(X?2XiX?X)??X?2X?Xi?nX

2i2ii?1i?1ni?1i?122 =

?Xi?12i?2nX?nX=?Xi2?n(X)2

i?122n 4