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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x的二次函数y?x2?(2k?1)x?k2?1的图象与x轴有2个交点. （1）求k的取值范围；
（2）若图象与x轴交点的横坐标为x1,x2，且它们的倒数之和是?【答案】（1）k＜-【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b2-4ac的范围可求解出k的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点， ∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0． 解得k＜-
3，求k的值. 23 ；（2）k=﹣1 43 ； 4（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0． 则x1+x2=2k-1，x1?x2=k2+1， ∵
=
=
= ?3， 2解得：k=-1或k= ?（舍去）， ∴k=﹣1
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2．已知为正整数，二次方程
的两根为
，求下式的值：
【答案】【解析】 由韦达定理，有
，
．于是，对正整数
，有
原式=
3．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=______． 探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有上有1+2=
2?3=3条线段，23?4=6条线2a?a?1?2线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
a?a?1?2条线段，棱AC
2?3=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为2a?a?1?2×3×1=
3a?a?1?2．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有上有1+2+3=
a?a?1?2条线段，棱AC
3?4=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 2（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有AC上有
a?a?1?2条线段，棱
b?b?1?2
2?3=3条线段，则图中长方体的个数为2条线段，棱AD上有1+2=
3a?a?1?b?b?1?2×
2×3=
3ab?a?1??b?1?4．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有
a?a?1?2条线段，棱AC
上有
b?b?1?2______．
条线段，棱AD上有1+2+3=
3?4=6条线段，则图中长方体的个数为2
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）探究三：（8）
a?a?1?2 ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；【结论】：①
ab?a?1??b?1?4 ；
3ab?a?1??b?1?2abc?a?1??b?1??c?1?8 ；【应用】：
180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】