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计算题专练(三)
1．(14分)如图，在粗糙水平台阶上静止放置一质量为m＝0.5 kg的小物块，它与水平台阶1
表面的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O点的距离s＝5 m．在台阶右侧固定了一个圆弧
4挡板，圆弧半径R＝1 m，圆弧的圆心也在O点．今以O点为原点建立平面直角坐标系．现用
F＝5 N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．
(1)若小物块恰能击中挡板上的P点(OP与水平方向夹角为37°)，求其离开O点时的速度大小；
(2)为使小物块击中挡板，求拉力F作用的最短时间；
(3)改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值．
解析：(1)小物块从O到P，做平抛运动 水平方向：Rcos 37°＝v0t(1分) 12
竖直方向：Rsin 37°＝gt(1分)
2由以上两式解得v0＝
Rcos 37°43
＝ m/s(1分)
32Rsin 37°
g(2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O点，由动能定理得
Fx－μmgs＝0(1分)
解得x＝2.5 m
由牛顿第二定律得F－μmg＝ma(1分) 解得力F作用时的加速度a＝5 m/s 12
由运动学公式得x＝at(1分)
2解得t＝1 s(1分)
(3)设小物块击中挡板的任意点坐标为(x，y)，则
2
x＝v0t(1分) y＝gt2(1分)
12
由机械能守恒定律得Ek＝mv 0＋mgy(1分)
2又由击中挡板满足：x＋y＝R(1分)
2
2
2
12
1
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mgR23mgy则Ek＝＋，(1分)
4y4
当y＝
353 m时，Ek有最小值，Ekmin＝ J(2分) 32
4353
答案：(1) m/s (2)1 s (3) J
32
2．(18分)如图所示，第二、三象限存在足够大的匀强电场，电场强度为E，方向平行于纸面向上，一个质量为m、电荷量为q的正粒子，在x轴上M点(－4r,0)处以某一水平速度释放，粒子经过y轴上N点(0,2r)进入第一象限，第一象限存在一个足够大的匀强磁场，其磁感应强度B＝2强度B＝2
Em，方向垂直于纸面向外，第四象限存在另一个足够大的匀强磁场，其磁感应rqEm，方向垂直于纸面向里，不计粒子重力，r为坐标轴每个小格的标度．试求： rq
(1)粒子初速度v0；
(2)粒子第1次穿过x轴时的速度大小和方向；
(3)画出粒子在磁场中运动轨迹并求出粒子第n次穿过x轴时的位置坐标． 解析：(1)粒子在电场中做类平抛运动，则
x方向：
4r＝v0t(1分)
12
y方向：2r＝at2(1分) qE＝ma(1分)
可解得v0＝2qEr(1分) m(2)x方向：4r＝v0t(1分)
y方向：2r＝vyt(1分)
则vx＝vy(1分)
可知粒子射出电场时v＝2v0＝2 粒子在磁场中运动半径R＝
2qEr，方向与水平成45°斜向上(2分)
12
mmv＝2r(1分) qB2qEr，方向与水平成45°斜向左下方．(2
由几何关系可知粒子第1次穿过x轴时速度v＝2
m2
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分)
(3)粒子轨迹如图所示．
(4分)
分析粒子轨迹可知，粒子第n次穿过x轴时的位置坐标为(2nr,0)．(2分) 答案：(1)2
qEr (2)2m2qEr 方向与水平成45°斜向左下方 (3)(2nr,0)
m3．(12分)如图所示，传送带的水平部分ab＝2 m，斜面部分bc＝4 m，bc与水平面的夹角
α＝37°.一个小物体A与传送带的动摩擦因数μ＝0.25，传送带沿图示的方向运动，速率v＝2 m/s.若把物体A轻放到a处，它将被传送带送到c点，且物体A不会脱离传送带．求物体A从a点被传送到c点所用的时间．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10m/s)
2
解析：物体A轻放在a点后在摩擦力作用下向右做匀加速直线运动直到和传送带速度相等．在这一过程中有a1＝
μmg2
＝μg＝2.5 m/s(2分) mv2
x1＝＝0.8 m＜ab(1分)
2a1
经历时间为t1＝＝0.8 s(1分) 此后随传送带运动到b点的时间为
va1
xab－x1
t2＝＝0.6 s(2分)
v当物体A到达bc斜面时，由于mgsin 37°＝0.6mg＞μmgcos 37°＝0.2mg，所以物体A将再次沿传送带做匀加速直线运动(2分)
其加速度大小为a2＝gsin 37°－μgcos 37°＝4 m/s(1分)
12
物体A在传送带bc上所用时间满足xbc＝vt3＋a2t s(负值舍去)(2分) 3 ，代入数据得t3＝1
2则物体A从a点被传送到c所用时间为t＝t1＋t2＋t3＝2.4 s(1分) 答案：2.4 s
4．(20分)如图所示，MN为绝缘板，PQ为MN的中垂线，O为MN的中点，在MN的下方有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外(图中未画出)．质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场(电场方向指向O点)，已知圆弧虚线的半径为R，其所在处场强为E，若离子恰好沿图中虚线做圆
2
3