loading第20讲 导数与函数的零点问题
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1．若函数f(x)＝ax3
－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)＝k有3个解，求实数k的取值范围． 解：(1)对函数f(x)求导得f′(x)＝3ax2
－b，
?f′2＝12a－b＝0，?由题意知?
?解得?oFMmpHJ8UpVwM6vutebfCbwNwnSmVXlV3eDy4sT8vuXR3LI59LnDToUd8ZQ2OncX40tysXq1l2。?f2＝8a－2b＋4＝－4
?a＝3
，
?
3，
1??b＝4.
Nd0HM2dQPiPfDSgYivbFfQS4Ex所以f(x)＝13
3
x－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2
－4＝(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 28 3 －43 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283
；
当x＝2时，f(x)有极小值－4
3
.
- 1 -
13
所以函数f(x)＝x－4x＋4的图象大致如图所示．
3
因为方程f(x)＝k的解的个数即为y＝k与y＝f(x)的交点个数．
?428?所以实数k的取值范围是?－，?.?33?
xBCIKbT0bYSbRkHkhuG3rjddoHE1dq3agLxz1fdFyWLniFChVWXUWMsunpk2xSNLUHU6M8i2g0uvxPUI5m5gt9duj2bCVb8G80tAK。2．已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….
Y6X8CVXdbm7BBx15mbKiQBy3f1O12rADEFzN5DzcYpt0JSTItUQp08bnxTSB6VaKMuWVXeZJByjq8ykn85x8AaCvucfcKY53fIee。(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 解：(1)证明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝e－1－x－x得，
xh(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，且h(x)在区间(1,2)上是连续的，
所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点． (2)由(1)得h(x)＝e－1－x－x.
由g(x)＝x＋x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0， 则x＝0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)内有零点， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点． 11x因为h′(x)＝e－x－－1，
2211x记φ(x)＝e－x－－1，
2213x则φ′(x)＝e＋x－.
42
x7yuyorkoS0Q8zyrXdGXLQh89OH01URCmivRTIFPh6vVGxy3OwlSfz1ePqkJHqju1nuP3HxexQFFkmrCgDbvyYnMgg1tnW8QM1Uj3。当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)上至多只有一个零点，
xeAv3C8tziKApBQ1XItsOPJr4kR6iTe4NMMOveL0AzfJSH4OwZeTaIsIu9rJK1bF4GNDP2vIWtRfz0zmf3AiFlU4k4jmN2fznzEb。即h(x)在[0，＋∞)上至多有两个零点． 所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2. 3．已知函数f(x)＝ae＋x－bx(a，b∈R)．
(1)设a＝－1，若函数f(x)在R上是单调递减函数，求b的取值范围； (2)设b＝0，若函数f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－e＋x－bx， ∴f′(x)＝－e＋2x－b，
由题意知，f′(x)＝－e＋2x－b≤0对x∈R恒成立． 由－e＋2x－b≤0，得b≥－e＋2x. 令F(x)＝－e＋2x，则F′(x)＝－e＋2， 由F′(x)＝0，得x＝ln 2.
- 2 -
xxxxxxx2
x2
当x＜ln 2时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，当x＞ln 2时，F′(x)＜0，F(x)单调递减，
lrUfLR3UWNORqcyN0XMwZNywdF493oFysbsjkcAc4ff46U2B3lQs5bLxTn16NTRy8fpeKetOnzsJxupi。从而当x＝ln 2时，F(x)取得最大值2ln 2－2， ∴b≥2ln 2－2，故b的取值范围为[2ln 2－2，＋∞)． (2)当b＝0时，f(x)＝aex＋x2
. 由题意知aex＋x2
＝0只有一个解． 由aex＋x2
＝0，得－a＝x2
ex，
令G(x)＝x2x2－xe
x，则G′(x)＝
e
x，
由G′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x≤0时，G′(x)≤0，G(x)单调递减， 故G(x)的取值范围为[0，＋∞)；
当0＜x＜2时，G′(x)＞0，G(x)单调递增，
故G(x)的取值范围为??4?0，e2???；4MVKJob66lDFDZNCX36NP8ve4OACH9kdjn9UBEAEf5GJWo5Oj6mqLBrWhGGVOzoX0pmgQT0isrxKrLiGILiBMTsHVcCVYFQFGJJw。当x≥2时，G′(x)≤0，G(x)单调递减，
故G(x)的取值范围为??4?0，e2???
.xL81fF9TTMuae4ChtA0vRsNlcLUm37w98EnVP79nyf7SgLPZ4ckwLD05XMPuKMPLgl1zGGrmrCXBlU5qVViRMZnvDiX2iECLplCV。由题意得，－a＝0或－a＞44
e2，从而a＝0或a＜－e2，
T9oyGxhBCodRBbXWNS2DvLd4YQOMJw8arq3tDqaYubi35KK8dyeIx427WkAQIuS6g3qb7tjmI49jt9Ye5GyahpCmnWxiQjfZjbN2。故若函数f(x)在R上只有一个零点， 则a的取值范围为??4?
－∞，－e2???∪{0}．RFwYuL9fUyxWGS0ywUlmytr0w7JeABipTK79q7uCuBplAVLvdZ5kBVdodvrm2VFjg73WKR7oqJRX36qBmd0AvXNXxJVUG7zzV65s。4．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2
有两个零点． (1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2. 解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． ①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点． ②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b ， 则f(b)>a2(b－2)＋a(b－1)2 ＝a??23? b－2b???>0， 6B6syeQvkbt6C1PtZenrYfcLPlYo20LhAlW7EMMSdYvo1yncKRBl6PlRpkCdgstjqbwg4IPdrveZJNKgXLDapqbL05Ik9zCLvbYP。- 3 - Lerm38acSUMsNB9RqRIL