loading第六章 线性空间
学习单元4： 基变换与坐标变换
_________________________________________________________
? 导学 学习目标：
了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：
建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
重点难点：
重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。 难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________
? 学习内容
一、基变换及过渡矩阵
命题 设V为P上n维线性空间，?1,L,?n与?1',L,?n'为V的两个基，则?1,L,?n与
'?1',L,?n等价，即它们可以互相线性表示。
定义 设V为P上n维线性空间，?1,L,?n与?1',L,?n'为V的两个基，令
??1'?a11?1?a21?2?L?an1?n?'??2?a12?1?a22?2?L?an2?n??L??'?a??a??L?a?1n12n2nnn?nL(1)，
称矩阵
?a11a12L?aa22L21?A??LL???an1an2La1n?a2n?? L??ann??为由基?1,?2,L,?n到基?1',L,?n'的过渡矩阵。
记号 将??x1?1?L?xn?n写成
?x1??， ??(?1,L,?n)?M????xn??于是（1）可写成(?1',L,?n')?(?1,L,?n)A。
性质 设?1,L,?n;?1,L,?n为V中两个向量组，A,B为两个n阶方阵，则 （1）((?1,L,?n)A)B?(?1,L,?n)(AB)；
（2）(?1,L,?n)A?(?1,L,?n)B?(?1,L,?n)(A?B)； （3）(?1,L,?n)A?(?1,L,?n)A?(?1??1,L,?n??n)A。
定理 设V为P上n维线性空间，则V的两个基之间的过渡矩阵是可逆的。
?1,L,?n;?1,L,?n为V中两个向量组，A?Pn?n，命题 设V为P上n维线性空间，
且(?1,L,?n)?(?1,L,?n)A，则
（1）若?1,L,?n;?1,L,?n线性无关，则A可逆；
（2）若?1,L,?n线性无关，A可逆，则?1,L,?n线性无关； （3）若?1,L,?n线性无关，A可逆，则?1,L,?n线性无关。
例 在P[x]4中求由基?1?1,?2?x,?3?x2,?4?x3到基?1?1,?2?1?x,?3?1?x?x2,
?4?1?x?x2?x3的过渡矩阵。
解 因为
?1?0(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)??0??0?111??111?，
011??001??111??111? ?011?001???1?0所以由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡阵为A???0??0?二、坐标变换
定理 设V为P上n维线性空间，?1,L,?n与?1',L,?n'为V的两个基，由?1,L,?n到
'?1',L,?n的过渡矩阵为A，??V，?在?1,L,?n及?1',L,?n'下的坐标分别为(x1,L,xn)与
(x1',L,xn')，则
?x1'??x1????。 ?1?M?AM????'?xn???xn????例 设V为数域P上全体2阶对称矩阵对矩阵的加法和数与矩阵的数乘作成的线性空间，证明：
?1???1?2??21??4?1??21??1?2??4?1?； ,??,????,??,??12?2??3??????3??
??21??13???1?5??13???21???1?5??4?11?都是V的基，并求出????在这两个基下的坐标。 ?11?7???k1?2k2?4k3?0?证：设k1?1?k2?2?k3?3?0，则 ??2k1?k2?k3?0，解得k1?k2?k3?0，所以?1,?2,?3?k?3k?5k?023?1线性无关，又dimV = 3，所以?1,?2,?3为V的基。
?010??010????100100又：(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?，而????为可逆矩阵，所以?1,?2,?3也为V的?001??001?????一个基。
设?在基?1,?2,?3下的坐标为(x1,x2,x3)，则??x1?1?x2?2?x3?3，于是
?x1?2x2?4x3?4???2x1?x2?x3??11?x?3x?5x??723?1。
解得x1?4,x2??2,x3?1，所以?在基?1,?2,?3下的坐标为(4,?2,1)。
设?在基?1,?2,?3下的坐标为(y1,y2,y3)，又因?1,?2,?3到?1,?2,?3的过渡矩阵为
?y1??010??4???2??010???????????y?100100，所以2??????2???4?，所以?在基?1,?2,?3下的坐标为(?2,4,1)。 ???y??001??1??1??001??3??????????1【教师解读】
过渡矩阵给出了两个基之间的关系，利用过渡矩阵可得到一个向量在两个基下的坐标的关系。
_________________________________________________________
? 拓展资料
1．同一向量在不同基下的坐标是否一定不同？不同向量在同一基下的坐标是否可以相同？
2．证明x2?x,x2?x,x?1是P[x]3的一个基，求出3x2?7x?3在这基下的坐标。
_________________________________________________________
? 讨论交流
讨论主题：如何利用线性空间的一个基构造出另外一个基。 教师提示：回顾过渡矩阵的定义。