loading第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
1. 选择题：
(1) 对弧长的曲线积分的计算公式
??Lf(x,y)ds???f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt中要
求 （C） .
（A） ??? （B） ??? （C） ???
(2) 设光滑曲线L的弧长为?，则?L6ds? （B） .（A） ? （ B） 6? （C） 12?
2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)?(x?y)ds，其中L为
LI） 以O(0,0)，A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形的边界； II）上半圆周x2?y2?R2；
解：I）
?(x?y)ds??(x?y)ds??(x?y)ds??(x?y)dsLOAABBO??1xdx??1(1?y)dy??100022xdx
?12?32?2?2?2II）
?(x?y)ds??(Rcost?Rsint)(x?)2?(y?)2L?0dt
?R2[sint?cost]?20?2R(2)?yds，其中L为y2?2x上点(2,2)与点(1,－2)之间的一段弧；L解：
?yds??21?(x?)2dy?L?2y?2?2y1?y2dy
?1[(1?y23)3/2]2?2?13(125?27)
*(3) ?(x2?y2)ds，其中?为螺旋线x?acost,y?asint,z?bt；
?(0?t?2?)
222?2222221/2解：??(x?y)ds??0a(asint?acost?b)dt
??2?0a2a2?b2dt?2?a2a2?b2*(4)
?x2?y2ds，其中L为x2?y2??2y；
L解：L的极坐标方程为r??2sin?，????2?，则
ds?r2?(r?)2d?。
?x2?y2ds?2?(r?)2d??L?rr2??2???r4sin2??4cos2?d?
??2?2??2rd???4??sin?d??8
第二节 对坐标的曲线积分
1．填空题
(1) 对坐标的曲线积分的计算公式
??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy=??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt
中，下限?对应于L的 始 点，上限?对应于L的 终 点； (2) 第二类曲线积分
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为第一类曲线积分是 ?L[P(x,y)cos?dx?Q(x,y)cos?]ds ，其中?,?为有向光滑曲
线L在点(x,y)处的 切向量 的方向角.
2．选择题：
(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B）
（A）无关， （B）有关；
(2) 若P(x,y)，Q(x,y)在有向光滑曲线L上连续，则 （A） （A） ?L?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy，
（B）
?L?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy.
3．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)?(x2?y2)dx，其中L为从点A(0,0)经上半圆周(x?1)2?y2?1
L(y?0)到点B(1,1)的一段弧；
解：L
的方程为
y2?1?(x?1)2，
x:0?1，则
?(x2?y2)dx?1[x2?1?(x?1)2]?1L?0?02xdx?1 (2) ?xdy?ydx，其中L为y?x2上从点B(1,1)到点A(?1,1)的一段弧；L解：?xdy?ydx???12?12L1xg2xdx?xdx??xdx??213。
(3)
?22Lxydx?y3xdy，其中L为y?x与x?1所围成区域的整个边界
（按逆时针方向绕行）；
解：Ly21:x?,y:1??1, L2:x?1,y:?1?1, 则
??Lx2ydx?y3xdy??x2ydx?y3xdy?x2ydx?y3xdyL?1L2?
??11(y5g2y?y5)dy??1?1?1y3dy??12y6dy??47
*(4)?y2dx?xydy?zxdz，其中?为从点O(0,0,0)到点C(1，1，1)，沿着
?I）直线段； II）有向折线OABC，这里的O、A、B、C依次为点(0,0,0)、
(1,0,0)、(1，1，0)、(1，1，1)；
?x?t解：I）?的参数方程为??y?t，0?t?1，则
??z?t原式=
?10(t2?t2?t2)dt?1
II）OA: ??x?t?x?1y?z?0, 0?t?1; AB: ??y?t,0?t?1;
???z?0?x? BC: ?1?y?1.0?t?1.
??z?t原式=
OA??y2dx?xydy?zxdz?0?AB??BC??1tdt??100tdt?1
第五节 对坐标的曲面积分
1. 选择题
(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 （B）
（A）无关 （B）有关 (2) 已知
??R(x,y,z)dxdy存在，则
???R(x,y,z)dxdy+)dxdy? （A）
????R(x,y,z?（A）0 （B）2??R(x,y,z)dxdy
?2. 计算下列对坐标的曲面积分： (1)
??(x2?y2)zdxdy，其中?为曲面z?1?x2?y2在第一卦限部分的
?上侧.
解：由??z?1?x2?y2?z?0知，?在xoy面的投影区域为：
Dxy?{(x,y)|0?y?1?x2,0?x?1}?{(r,?)|0?r?1,0????2}，原式=??(x2?y2)(1?x2?y2)dxdyDxy???20d??1?0r2(1?r2)rdr?(1?1)?
246?24
(2)
??(x＋1)dydz?ydzdx?dxdy，其中?为x?y?z?1在第一卦限的
?部分且取法线的方向与z轴的夹角为锐角.
解：由已知得，平面与x,y轴的夹角也为锐角，?在三坐标面上的投影为等腰直角三角形，故 原式=?11?y0dy?0(2?y?z)dz??11?x0dx?0(1?x?z)dz??1dx?1?x00dy?43。 *3．把
??xdydz?ydzdx?(x?z)dxdy化为对面积的曲面积分，其中?为
?平面2x?2y?z?2第一卦限部分的上侧.
解：因?取上侧，故法向量rn与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为
cos??23,cos??23,cos??13, 从而
原式=???(23x?13y?13x?13z)dS?13???(3x?2y?z)dS
第六节 Gauss公式 *通量与散度
1. 利用高斯公式计算下列曲面积分： (1)
??(x3?yz)dydz?2x2ydzdx?zdxdy，其中?为平面 ?x?0,y?0,z?0,x?1,y?1,z?1围成的立方体?的表面外侧；
解：由Gauss公式，得
原式=???(3x2?2x2?1)dxdydz??1dz?1dy?1(x2?1)dx?4?0003。
(2)
??(x?y)dxdy?x(y?z)dydz，其中?由x2?y2?9,z?0,z?1所
?围空间闭区域?的整个边界曲面的外侧； 解：由Gauss公式，得
原式=???(y?z)dxdydz??2?d??3rdr?1000(rsin??z)dz???2?d??3r(rsin??1)dr?9?2?19
0020(sin??4)d???2?
*(3)
??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为上半球面z?a2?x2?y2?的上侧；
解：设?0（x21为z?+y2?a2）的下侧，?与?1围成的闭区域为?，由
Gauss公式，得
?ò??xdydz?ydzdx?zdxdy????3dxdydz?2?a3，
???1而
23?ò??xdydz?ydzdx?zdxdy?0，故原式=?a 1