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5.5
状态观测器
一. 状态观测器的定义
5.5状态观测器
定义：考虑n维线性定常系统??=????+????，????=????,??≥??
??=????
其中，??不能直接测量，输出??和控制??是可以测量的。则称以??和??为输入，且其输出???满足如下关系式lim?????=lim????的一个n维线性定常系统为全维状态观测器。??
??→∞
??→∞
二. 全维状态观测器的实现
1.根据系统已知的系数矩阵??、??和??，按和原系统相同的结构形式，复制一个基本系统。
?=?????+????，?????=?????,??≥???????=????，则理论上可实现所有的??>0均成立?????=??(??)即实现完全的状当使初始状态??
态重构；
?但是，这种开环型的状态观测器是难以实际应用的。因为:
第一，每次用这种观测器前都必须设置初始状态，这显然是不方便的；
???和????间有很小的偏差，则随着第二，如果系统矩阵??包含不稳定的特征值，那么即使??
时间的推移偏差将愈来愈大。
5.5状态观测器?之差作为修正变量，并将其经增益矩阵??反馈到复制2. 取原系统输出??和复制系统输出??
统中的积分器输入端，构成一个闭环系统。即
?+????+??????????=(???????)???+????+?????=?????+????+????????=??????
其结构可表示如下: ??????+?????????+??????????+???????++??????????????5.5
三. 全维状态观测器极点配置的条件
状态观测器
定理：考虑n维线性定常系统??=????+????，????=????,??≥??
??=????完全能观，则必可由如下描述的状态观测器
?=??????????+????+???????=?????????
来重构系统状态，并且必可通过选择增益矩阵??而实现任意配置???????的全部特征值。?=??????，则有证明：取??
?=??????=????+?????????????????????????=(???????)????????
只要使矩阵(???????)的特征值具有负的实部，那么一定可以做到使
??→∞
???=??lim??
即
??→∞
?(??)=lim????lim??
??→∞
因此，状态能否重构的关键在于能否找到增益矩阵??，使矩阵???????的极点任意配置。
5.5状态观测器
因为系统{??,??,??}完全能观，故根据对偶定理，其对偶系统{????,????,????}完全能控。
??
根据极点配置的充要条件，对于任意给定的??个特征值???，??，?，????，必可找到一个????实常数阵??，使下式成立：
?????????????[?????(???????)]=???=?????????
由于矩阵转置特征值不变，即
(????
具有相同的特征值。
?
??????)
与(???????????)??=(?????????)
故当取??=????时有：
?
??????[?????(???????)]=????????????=??
即可任意配置矩阵(???????)的特征值，故必可使系统稳定，从而可实现状态观测。