场论

?，

因此

.

由于所讨论的区域是原点除外的整个空间，这是一个线单连区域，即知

是一个势量场，其势函数为

,

其中

.

例如引力场是一个中心场，因而它是一个势量场.

第三节 算子和 算子

§3.1 算子

为方便计，我们引入倒三角形算子 ，

它也称为哈密顿（Hamilton）算子，“ ”读作那布拉，只是一个运算符号（即是一个微分子运算符号，又是一个矢量运算符号），当

数量函数或矢量函数从右方“乘”（数乘、点乘、叉乘） 时，就有完全确定的意义，即规定：

这样，梯度、散度、旋度就可以分别简记为

，

，

算子有好多条运算规则，利用这些规则来推导有关梯度、散度、旋度的恒等式是比较方便的，关于这方面的基本内容可参看本章第四节.

将 作用到数量函数和矢量函数，其运算仅包含一阶微分运算，因而 是一阶微分算子.下面我们对数量函数和矢量函数两次使用算子 .

对函数两次使用算子 只有以下五处情况： 1

o

2 3 4 5

o

o

ooo

o

其中2和4可以验证

=0，

特别重要的是1，我们有

o

=0.

§3.2 算子

我们引入二阶微分算子

，

称为拉普拉斯（Laplace）算子，其运算规定如下：

称为 U的调和量，其中 这样，1就可以写成

o

表示

另外，3和5还具有关系式：

o

o

§3.3 调和场

最后我们提一下调和场的概念，设矢量场 源场，则称

，使得

为调和场. 因为

既是势量场又是无

是调和场，按定义必存在势函数

，而 又是无源场，则有

满足

于是势函数

，或 ， 即