loading长方体体积：v=abc 正方体体积：v=a3 圆柱体积：v=sh 圆锥体积：v= sh 空间形式 用图表表示空间和平面结构 统计与概率 统计图和统计表 用统计图表描述和分析各种信息 可能性 用分数表示可能性的大小 4．模型思想的教学。
从表格中可以看出：模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是它们的共同之处；但是模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。正是因为数学在各个领域的广泛应用，不但促进了科学和人类的进步，也使得人们对数学有了新的认识：数学不仅仅是数学家的乐园，它也不应是抽象和枯燥的代名词，它是全人类的朋友，也是广大中小学生的朋友。广大教师在教学中结合数学的应用和解决问题的教学，要注意贯彻课程标准的理念：一方面要注重渗透模型思想，另一方面要教会学生如何建立模型，并喜欢数学。
学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。
数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：(1) 理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。(2) 把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。(3) 建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。(4) 解答问题。下面结合案例做简要解析。
第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家和物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律：平衡的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，等于两个物体重量的反比，即Ｆ1：Ｆ2＝Ｌ2：L1。根据课程标准的
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理念，学生的学习过程有时是一个探索的过程，也是一个再创造的过程；也就是说有些模型是可以由学生进行再创造的，可以把科学家发明的成果再创造一次。如在学习了反比例关系以后，可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。再如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型V＝abc，这是一个模型化的过程，也是一个再创造的过程。
第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。这样的模型是已经存在并且是科学的，并不是新发明的，由学生进行再创造也几乎是不可行的；换句话说，有些模型由于难度较大或不便于探索，不必让学生再创造。如两个变量成反比例关系，如果给出两个量数据变化的表格，学生通过观察和计算有可能发现这两个量的关系。但是如果让学生动手实践操作去发现规律，还是有一定难度的。再如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较抽象，操作难度较大，因而也不适合学生进行再创造。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟，使学生能够理解模型的意义便可。
第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。学生学习了教材上的基础知识以后，利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题，是一个富有挑战的过程，也可以是一个合作探究的过程。如小学生奥林匹克数学竞赛中有很多应用数学解决的问题，就是一个建立模型的过程；再如中学生和大学生组队参加数学建模大赛，就是一个团队合作探究的过程。
案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带学具了，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）
解答过程如下：
(1) 本题是日常生活中常见的行程问题，问题是要求小明步行的速度，是关于时间、速度和路程的问题。
(2) 这里需要明确所求的速度相对应的路程和时间是什么，因为取东西等时间忽略不计，因此剩余的时间就可以确定为步行的时间；路程是从家出来2分钟后开始算，再回家的路程加上从家到学校的路程的和；时间是10分钟减去2分钟，只有8分钟的时间了。
(3) 根据基本的关系式s=vt，可先求出s＝600+（600÷10）×2＝720(米), t＝10－2＝8(分钟)。列式为：720＝8v。
(4)v＝90，即小明步行的速度为90米／分钟。
从上面的解答过程来看，小学数学的情境还是比较容易理解的，模型系统也容易确定。如果说此题比教材中的一般习题有难度的话，就是路程和时间没有直接给出,拐了个弯。也就是说难点在于第二步中知道模型系统后相应的数量怎么准确地找出来，一定要注意题中对每一个量是怎样叙述的，有什么特殊的要求，在认真读题的基础上准确地找出来或计算出来。
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案例2 ：有一根20米长的绳子，要剪成2米和5米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）
分析：此题从表面上看，是小学数学整数乘除法的一般问题，但是由于题目中有特殊要求，无法直接列式解答。如果用方程，题目中涉及了两个未知数，属于二元一次方程，超出了小学数学的范围。那么，面对这样的问题如何解决呢？在小学数学中面对一些非常规的问题时，有时运用列表枚举或者猜测的方式是一种可行的策略，只不过会繁琐一些。
5米跳绳的根数 2米跳绳的根数 剩余米数 1 7 1 2 5 0 3 2 1 4 0 0 由上表可知符合要求的答案为：5米和2米的跳绳分别剪2根和5根。
此题如果用方程解决，可设5米和2米的跳绳分别剪x根和y根，可列方程：5x＋2y＝20。可仿照正比例关系y＝kx图像的画法，在有方格纸的坐标系里，通过两点(0，10)和(4，0)画出一条直线，就是方程5x＋2y＝20的图像。再找出图像与方格的交叉点重合的点，就是方程的解。
案例3：一瓶矿泉水满瓶水为500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？
分析：此题是求水的容积，有一个在建模过程中需要的假设，就是矿泉水瓶圆柱部分并不是一个严格的圆柱形状，要假设它是圆柱形状，这样才便于建立模型。由于不知道圆柱的底面积，所以无法用容积公式直接求解。这就需要换一个思路来想，根据容积公式v＝sh，可知如果底面积一定，容积与圆柱的高成正比。这样就把求容积问题转化为比例的问题。由于矿泉水瓶最上面部分形状不规则，倒立过来以后喝的水就相当于圆柱形瓶子高度为4厘米的水。满瓶矿泉水就相当于这瓶水都装在圆柱形瓶子后，高度为20厘米的水。可设小林喝的水为v毫升，列式为：v：500＝4：(16+4)，v＝100。
小学数学思想方法的梳理（四）
四、推理思想 1. 推理思想的概念。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。
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合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
(1) 演绎推理。
三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇数都不能被２整除，(２＋１)是奇数，所以(２
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3
＋１)不能被２整除。
选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提
是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。
假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末位是０，那么这个数能被５整除；这个数的末位是０，所以这个数能被５整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。
关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称性关系推理，如１米＝１００厘米，所以１００厘米＝１米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)传递性关系推理，a>b，b>c，所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。
(2) 合情推理。
归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。数学归纳法是一种特殊的数学推理方法，从表面上看并没有考察所有对象，但是根据自然数的性质，相当于考察了所有对象，因而数学归纳法实际上属于完全归纳推理。
类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。
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