loading1.因式分解练习题(提取公因式)
知识点一 因式分解的定义理解
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 【例题 】 1．下列变形是分解因式的是( )
A．6x2y2=3xy·2xy B．a2－4ab+4b2=(a－2b)2 C．(x+2)(x+1)=x2+3x+2 D．x2－9－6x=(x+3)(x－3)－6x
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A、xy2(x?1)?x2y2?xy2 B、x2?9?(x?3)(x?3) C、x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2
D、ax?bx?c?x(a?b)?c
3、下列分解因式结果正确的是( )
A. a2b+7ab－b=b(a2+7a) B. 3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2)
C. 8xyz－6x2y2=2xyz(4－3xy) D. －2a2+4ab－6ac=－2a(a－2b－3c) 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。 知识点二：确定多项式的公因式的方法
1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、找公因式的方法
提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．?公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
【例题】 1、ay?ax 2、3mx?6my 3、4a2?10ab
4、15a2?5a 5、x2y?xy2 6、12xyz?9x2y2
7、m?x?y??n?x?y? 8、x?m?n??y?m?n?2 9、abc(m?n)3?ab(m?n) 10、12x(a?b)2?9m(b?a)3 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、x?y?__(x?y) 2、b?a?__(a?b) 3、?z?y?__(y?z)
4、?y?x?2?___(x?y)2 5、(y?x)3?__(x?y)3 6、?(x?y)4?__(y?x)4
7、(a?b)2n?___(b?a)2n(n为自然数) 8、(a?b)2n?1?___(b?a)2n?1(n为自然数) 【专项训练】
一、把下列各式分解因式。
1、nx?ny 2、a2?ab 3、4x3?6x2 4、8m2n?2mn
5、25x2y3?15x2y2 6、12xyz?9x2y2 7、3a2y?3ay?6y
8、a2b?5ab?9b 9、?x2?xy?xz 10、?24x2y?12xy2?28y3
二：把下列各式分解因式。
1、x(a?b)?y(a?b) 2、5x(x?y)?2y(x?y) 3、6q(p?q)?4p(p?q)
4、(m?n)(P?q)?(m?n)(p?q) 5、a(a?b)?(a?b)2 6、x(x?y)2?y(x?y)
三、利用因式分解计算。
1、7.6?199.8?4.3?199.8?1.9?199.8 2、2.186?1.237?1.237?1.186
四：利用因式分解解答列各题。
1、已知a+b=13，ab=40， 求2a2b+2ab2的值。
2、已知a?b?2，ab?1，求a3b+2a2b232+ab3的值。
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2．公式法因式分解练习题
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 5、1?25b 6、x2y2?z2 7、
2421m?0.01b2 8、a2?x2 99一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：
（1）x2-9 （2）9x2
-6x+1
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：
（1）x5y3-x3y5 （2）4x3y+4x2y2+xy3
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为
符合公式的形式,然后再利用公式法分解.
例3、 分解因式：
(1)4x2-25y2 (2)4x2-12xy2+9y4
四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式
法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.
例4、 分解因式:
(1)x4-81y4 (2)16x4-72x2y2+81y4
五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式
交换位置，重新排列，然后再利用公式。
例5、 分解因式：
（1）-x2+(2x-3)2 (2)(x+y)2
+4-4(x+y)
六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，
然后再利用公式法分解。
例6 、分解因式： (x-y)2
-4(x-y-1)
专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式
1、x2?4 2、9?y2 3、1?a2 4、4x2?y2
题型(二)：把下列各式分解因式
1、(x?p)2?(x?q)2 2、 (3m?2n)2?(m?n)2 3、16(a?b)2?9(a?b)2
题型(三)：把下列各式分解因式
1、x5?x3 2、4ax2?ay2 3、3x3?16x 4、x2(2x?5)?4(5?2x)
题型(四)：利用因式分解解答下列各题
1、计算：⑴7582?2582 ⑵3.52?9?2.52?4 ⑶(1?122)(1?132)(1?142)???(1?1192)(1?102)
专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式
1、x2?2x?1 2、4a2?4a?1 3、 1?6y?9y2 4、1?m?m24
5、4p2?20pq?25q2 6、y2?y?14 7、1?4t?4t2 8、25m2?80m?64
题型(二)：把下列各式分解因式
1、(x?y)2?6(x?y)?9 、a2?2a(b?c)?(b?c)2 3、4?12(x?y)?9(x?y)2
题型(三)：把下列各式分解因式
1、2xy?x2?y2 2、4xy2?4x2y?y3 3、?a?2a2?a3
题型(四)：把下列各式分解因式 1、1x2?2xy?2y2 2、x4?25x2y2?10x3y 3、ax2?2a2x?a32
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因式分解的常用方法
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； 三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：am?an?bm?bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！
=(m?n)(a?b)
例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)
练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：x2?y2?ax?ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a) 例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2 =(a?b)2?c2 =(a?b?c)(a?b?c)
练习：分解因式1、x2?x?9y2?3y 2、x2?y2?z2?2yz
综合练习：
（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax2?bx2?bx?ax?a?b
（3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1 （4）a2?6ab?12b?9b2?4a
（5）a4?2a3?a2?9 （6）4a2x?4a2y?b2x?b2y
（7）x2?2xy?xz?yz?y2 （8）a2?2a?b2?2b?2ab?1
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：x2?5x?6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。1 2
解：x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3 1 3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：x2?7x?6
解：原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1
=(x?1)(x?6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5
练习6、分解因式(1)x2?x?2 (2)y2?2y?15 (3)x2?10x?24
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第二部分： 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。 2分解因式： m3
-4m= . 3.分解因式： x2
-4y2
= __ _____.
4、分解因式：
?x2?4x?4=___________ ______。 5.将xn
-yn分解因式的结果为(x2
+y2
)(x+y)(x-y)，则n的值为 .
6、若x?y?5,xy?6，则x2y?xy2=_________，2x2?2y2=__________。 二、选择题
7、多项式
15m3n2?5m2n?20m2n3的公因式是( ) A、5mn B、5m2n2 C、5m2n D、5mn2
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A、?a?3??a?3??a2?9 B、a2?b2??a?b??a?b?
a2C、?4a?5?a?a?4??5m2?2m?3?m? D、
??m?2?3?m?? 10.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2
-4x+4 11．把（x－y）2
－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1） 12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2
＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2
（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2
＝（a－2b）（11b－2a）
13.若k-12xy+9x2
是一个完全平方式，那么k应为（ ）
A.2 B.4 C.2y2 D.4y2
三、把下列各式分解因式：
14、nx?ny 15、4m2?9n2
16、m?m?n??n?n?m? 17、a3?2a2b?ab2
?x2218、
?4??16x2 19、9(m?n)2?16(m?n)2；
2、用简便方法计算。
（1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352
(3)199719972?1996?1998
3、已知：x＋y=12,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： 通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解。
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