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第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令?(s)?y,则y?x1
所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量,求以电感中的电流与电容上的电压作为状态变量的状态方程,与以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。
解:由图,令i1?x1,i2?x2,uc?x3,输出量y?R2x2
R1x1?L1x1?x3?u有电路原理可知:L2x2?R2x2?x3??x1?? 既得
?R111x1?x3?uL1L1L1R21x2?x3L2L2
x2??x3????x1?x2?Cx3?11x1?x2CCy?R2x2写成矢量矩阵形式为:
1-4 两输入u1,u2,两输出y1,y2的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式与传递函数阵。 解:系统的状态空间表达式如下所示:
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 解:令x1?y，x2?y，x3?y,则有 相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数W(s)?...6(s?1),试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图
s(s?2)(s?3)21016(s?1)?43?3?3 ??解:W(s)?s(s?2)(s?3)2(s?3)2s?3s?2s?1-7 给定下列状态空间表达式
?1??010??x1??0??x?x?2????2?30??x2???1?u?????????3???x????11?3????x3????2??‘
x?1?y??001??x2?????x3??（1） 画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数
解:
0??s?1?0? (2)W(s)?(sI?A)?2s?3????1?1s?3??1-8 求下列矩阵的特征矢量
10??0?02? (3)A?3?????12?7?6??0????1??2???3?6?2?11??6?0 解:A的特征方程 ?I?A??3?????127??6??解之得:?1??1,?2??2,?3??3
10??p11??0?p11??02??p21????p21? 当?1??1时,3??????????12?7?6????p31???p31???p11??1?????解得: p21?p31??p11 令p11?1 得 P1??p21????1? ??p31?????1???p11???1?????(或令p11??1,得P1??p21???1?) ??p31????1??10??p12??0?p12??02??p22???2?p22? 当?1??2时,3??????????12?7?6????p32???p32???p12??2?1????解得: p22??2p12,p32?p12 令p12?2 得 P2?p22??4
????2??p32????1?????p12??1???(或令p12?1,得P2?p22???2?) ???1???p32?????2?10??p13??0?p13??02??p23???3?p23? 当?1??3时,3??????????12?7?6????p33???p33???p13??1?????解得: p23??3p13,p33?3p13 令p13?1 得 P3?p23??3 ??????p33????3??1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)
?1??41?2??x1??31??x?x?2???102??x2???27?u?????????3???x???1?13????x3????53??(2)
?x1??y1??120????y???011??x2?????2???x3?2????4?1???2??(??1)(??3)2?0 解:A的特征方程 ?I?A??1???1??3???1??41?2??p11??p11??2??p21??3?p21? 当?1?3时,10?????????1?13????p31???p31???p11??1?????解之得 p21?p31?p11 令p11?1 得 P1??p21???1? ??p31????1???41?2??p11??p11??1??2??p21??3?p21???1? 当?2?3时,10???????????1?13????p31???p31????1???p12??1?????解之得 p12?p22?1,p22?p32 令p12?1 得 P2?p22?0 ??????p32????0???41?2??p13??p13??2??p23???p23? 当?3?1时,10????????1?13????p33????p33??解之得
p13?0,p23??p13??0?2p33 令p33?1 得 P3??p23???2?
??????p33????1??约旦标准型
1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)与W2(s)
试求两子系统串联联结与并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解:(1)串联联结 (2)并联联结
1-11 (第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解:
1-11(第2版教材) 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解:
1-12 已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 (1)b???
?1??1?
解法1: 解法2:
求T,使得T?1B??? 得T?1??所以,状态空间表达式为
?1??1??11??1?1? 所以 T?????01??01?第二章习题答案
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。
?11?
(2) A=??
?41?
解:第一种方法: 令
?I?A?0
2则
??1?4?1??1?0 ,即???1??4?0。
求解得到?1?3,?2??1
?p11?当?1?3时,特征矢量p1???
p?21?由 Ap1??1p1,得??11??p11??3p11? ???????41??p21??3p21??p11?p21?3p11?1?即?,可令p1???
?2??4p11?p21?3p21当?2??1时,特征矢量p2???p12? ??p22?由Ap2??2p2,得??11??p12???p12???p????p? 41???22??22?即??p12?p22??p12?1? ,可令p2???
??2??4p12?p22??p221?4?? 1??4???1?11??1?2则T???,T??12?2?????2第二种方法,即拉氏反变换法:
第三种方法,即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知?1?3,?2??1
2-5 下列矩阵就是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A阵。
?2e?t?e?2t(3)??t????t?2t?e?e1?1?t3t?t3t?e?e?e?e??????22e?2t?2e?t?4? ? (4)??t???12e?2t?e?t???e?t?e3te?t?e3t??????2?解:(3)因为 ??0????10??I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ??01??10?(4)因为??0?????I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
01??2-6 求下列状态空间表达式的解:
初始状态x?0????,输入u?t?时单位阶跃函数。
?1??1?解: A???01? ??00??0??1?因为 B??? ,u?t??I?t?
2-9 有系统如图2、2所示,试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0、1s与1s,而u1与u2为分段常数。 图2、2 系统结构图 解:将此图化成模拟结构图 列出状态方程
则离散时间状态空间表达式为 由G?T??e与H?T??At?T0eAtdtB得:
?k?1?e?1?0??e?10?当T=1时 x?k?1????u?k? ?x?k????1?11??1???1?e?ke?当T=0、1时 x?k?1????e?0.1?0.1?1?e?0.1?k1?e0???0??u?k? ?x?k????0.1?k?e?0.9??0.1?1???第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性与能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性与能观性就是否有关,若有关,其取值条件如何？
(1)系统如图3、16所示: 解:由图可得: 状态空间表达式为:
由于x2、x3、x4与u无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统。由于y只与x3有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统。 (3)系统如下式:
解:如状态方程与输出方程所示,A为约旦标准形。要使系统能控,控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素
???