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§2 依概率收敛与弱大数定律
一、依概率收敛 二、弱大数定律
一、依概率收敛
尽管分布函数完全反映了随机变量取值的分布规律, 但是两个不同的随机变量可以有相同的分布函数. 例如, 向区间[0,1]上随机等可能投点,ω表示落点的位置，定义
1,??[0,050,??[0,05.].]?(?)???(?)???0,?1,.,] .,]. (1) ? ??(051? ??(051那么ξ和η具有相同的分布函数
?0,x?0,??1/2,0?x?1,?1,F(x)=? x?1.
(2)
d????????, 但|?n??|?1. 这说明分布函数收敛性并不能反映随nn?1如果定义, n, 那么
机变量序列取值之间的接近程度. 为此需要引入另外的收敛性.
定义1 设?和?n是定义在同一概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列. 如果对任意ε>0,
n??limP(|?n??|??)=0, (3)
或
n??limP(|?n??|??)=1,
P
(3)'
???. 那么称?n依概率收敛(convergence in probability)于?，记作?n?P???????可直观地理解为：除去极小的可能nn注 定义1要求所有和的定义域相同.
性，只要n充分大，?n与?的取值就可以任意接近.
???并不能导出?n????. 关于这两种收敛性之间的关从上面例子可以看出, 由?n?系，我们有下面的定理.
定理1 设?和?n是定义在概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列.
dP???, 那么 ?n????. 1. 如果?n???c, c为常数，那么?n???c. 2. 如果?n?dPPd证 1. 设F和Fn分别是?和?n的分布函数，x表示F的连续点. 任意给定ε>0,
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(??x??)?(??x??,?n?x)?(??x??,?n?x)
?(?n?x)?(?n????),
因此
F(x??)?Fn(x)?P(?n????).
P?????, 故P(?n????)?P(|?n??|??)?0, 从而 n令n→∞, 由于
F(x
类似地
??)?limFn(x)n??. (4)
(?n?x)?(?n?x,??x??)?(?n?x,??x??)
?(??x??)?(???n??),
从而
Fn(x)?F(x??)?P(???n??).
令n→∞, 得
n??limFn(x)?F(x??). (5)
连接(4) (5)两式，对任意ε>0, 有
F(x
??)?limFn(x)n???n??limFn(x)?F(x??).
由于F在x点连续，令ε→0, 就得
n??limFn(x)?F(x)d?????. n, 即
??c，那么 2. 如果?n?d0,x?climFn(x)???n???1, x?c.
因此对任意??0,有
P(|?n?c|??)?P(?n?c??)?P(?n?c??)?1?P(?n?c??)?P(?n?c??) =1?Fn(c???0)?Fn(c??)?0, (n→∞).
定理证毕.
例1 设{?n}独立同分布，都为[0, a]上的均匀分布, ?n?max{?1,?2,?,?n}.求证
P?n???a.
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??D(x?a), 其中D(x-a)是在a点的退化证 由定理1, 只须证明?n的分布函数Gn(x)?分布函数.
n??G(x)?[F(x)]knn从第二章知道：假设的分布函数为F(x), 那么的分布函数为. 现在?kW的分布函数为
F(x)=
故
?0,x?0,??x/a,0?x?a,?1,x?a.?
?0,?x?0Gn(x)??(x/a)n,0??0,x?a?1,?x?a?1, → D(x-a)=?
证毕.
x?a
x?a
(n→∞).
依概率收敛有许多性质类似于微积分中数列极限的性质, 下面仅举两个例子说明这类问题的证题方法. 大局部性质放在习题中留给读者自己证明.
例2 设?和?n是定义在概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列. 求证：
PP??????????, 那么P(ξ=η)=1. nn1. 假设，
???, f是 (-∞, ∞) 上的连续函数，那么f (?n)???f(?). 2. 假设?n?证 1. 任意给定ε>0，我们有
(|???|??)?(|?n??|??/2)?(|?n??|??/2),
从而
P(|???|??)?P(|?n??|??/2)?P(|?n??|??/2).
PP??????????, 并注意到上式左方与n无关, 得P(|???|??)=0. 进一步, nn由,
??PPP(|
即P(ξ=η)=1.
???|?0)?P(?(|???|?1/n))??P(|???|?1/n)n?1n?1=0,
2. 任意给定?,???0，存在M>0, 使得
P(|ξ|?M)?P(|ξ|?M/2)???/4.
P (6)
???, 故存在N1?1, 当n?N1时, P(|?n??|?M/2)???/4, 因此 由于?n?.