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高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念及运算
【考点导读】 1. 2. 3.
了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．
理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4.
【基础练习】 1.集合
集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．
{(x,y)0?x?2,0?y?2,x,y?Z}用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}． A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B??．
?{0,1,2}，N?{xx?2a,a?M}，则集合M?N?_______． {0,2}
2.设集合
3.已知集合M4.设全集I
?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，CIA?{5,7}，则实数a的值为____8或2___．
【范例解析】 例.已知
R为实数集，集合A?{xx2?3x?2?0}.若B?CRA?R，B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，求集合B.
A?R可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.
分析：先化简集合A，由B?CR解：（1）可得而
A?{x1?x?2}，?CRA?{xx?1或x?2}.又B?CRA?R，A?CRA?R，
A?B.
B?CRA?{x0?x?1或2?x?3}，
?{x0?x?1或2?x?3}?B.
借助数轴可得
【反馈演练】 1．设集合
B?A?{x0?x?1或2?x?3}?{x0?x?3}.
A??1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=_________．
a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是____8___个．
2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|3．设集合P?{xx2?x?6?0}，Q?{x2a?x?a?3}.
?P，求实数a的取值范围；
（1）若P?Qword资料
.
（2）若P?Q??，求实数a的取值范围；
（3）若
P?Q?{x0?x?3}，求实数a的值.
P?{x?2?x?3}，
P?Q?P，?Q?P.
解：（1）由题意知：
①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3．
??时，得?2?2a?a?3?3，解得?1?a?0．
②当Q综上，a?(?1,0)?(3,??)．
（2）①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3；
?2a?a?3,3②当Q??时，得?，解得a??5或?a?3．
2a?3??2或2a?3?综上，a?(??,?5]?[3,??)． 2（3）由
P?Q?{x0?x?3}，则a?0．
第2课 命题及逻辑联结词
【考点导读】 1. 2. 3.
了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．
了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．
理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】
1.下列语句中：①
x2?3?0；②你是高三的学生吗？③3?1?5；④5x?3?6．
其中，不是命题的有____①②④_____．
2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 若?p则?q，逆否命题可表示为
若?q则?p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．
【范例解析】 例1. （1）
写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. 平行四边形的对边相等；
word资料
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（2） （3）
菱形的对角线互相垂直平分； 设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d.
分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题. 解： （1）
原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；
逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；
逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）
原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；
逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；
逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）
原命题：设a,b,c,d?R，若a?b,c?d，则a?c?b?d；真命题； ?R，若a?c?b?d，则a?b,c?d；假命题； ?R，若a?b或c?d，则a?c?b?d；假命题； ?R，若a?c?b?d，则a?b或c?d；真命题.
逆命题：设a,b,c,d否命题：设a,b,c,d逆否命题：设a,b,c,d
点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即否定为“不都是”等.
例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； （3）p：方程
，“或”的否定为“且”，“都是”的?p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”
x2?x?1?0的两实根的符号相同，q：方程x2?x?1?0的两实根的绝对值相等.
分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：
（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题.
（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题. （3）p或q：方程
x2?x?1?0的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；
2p且q：方程x非p：方程x2?x?1?0的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；
?x?1?0的两实根的符号不同，真命题.
word资料
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点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数；
（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分. 分析：全称命题“?x?M,解： （1）（2）（3）（4）（5）
点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 否定词语 等于 不等于 大于 不大于 小于 不小于 是 不是 都是 不都是 ，特称命题“?x?M,p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)” . p(x)”的否定是“?x?M,?p(x)”
?p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； ?p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；
?p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； ?p：所有四边形都有外接圆，假命题； ?p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 … 否定词语
【反馈演练】
至少有两个 一个也没有 某个 某些 … 1．命题“若a?M，则b?M”的逆否命题是__________________. 2．已知命题
若b?M，则a?M
p：?x?R,sinx?1，则?p:?x?R,sinx?1.
3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____. 4．命题“若a若a?b，则2a?2b?1 ． ?b，则2a?2b?1”的否命题为________________________
5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设a,b?R，若
ab?0，则a?0或b?0； （2）设a,b?R，若a?0,b?0，则ab?0．
解：
（1）逆命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；真命题；
否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0且b?0；真命题； 逆否命题：设a,b?R，若a?0且b?0，则ab?0；真命题； （2）逆命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0,b?0；假命题； 否命题：设a,b?R，若a?0或b?0，则ab?0；假命题； 逆否命题：设a,b?R，若ab?0，则a?0或b?0；真命题．
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第3 课时 充分条件和必要条件
【考点导读】 1. 2.
理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件． 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合P?Q，则P是Q的充分条件； ?Q，则P是Q的必要条件； ?Q，则P是Q的充要条件．
若集合P若集合P3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】 1.若
p?q，则p是q的充分条件．若q?p，则p是q的必要条件．若p?q，则p是q的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知（2）已知
p:x?2，q:x?2，那么p是q的_____充分不必要___条件．
p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____充要_____条件．
（3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的___必要不充分__条件．
3.若
x?R，则x?1的一个必要不充分条件是x?0．
【范例解析】
例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
?x?2,?x?y?4,（1）?是?的___________________条件；
y?2.xy?4.??（2）(x?4)(x?1)?0是
x?4?0的___________________条件；
x?1（3）
???是tan??tan?的___________________条件；
x?y?3是x?1或y?2的___________________条件.
（4）
分析：从集合观点“小范围
?大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为??x?2,?x?2,?x?y?4,?x?y?4,?x?2,1结合不等式性质易得?，反之不成立，若x?，y?10，有?，但?不成立，所以?2?y?2.?y?2.?y?2.?xy?4.?xy?4.?x?y?4,是?的充分不必要条件.
xy?4.?（2）因为(x?4)(x?1)?0的解集为[?1,4]，
x?4x?4?0的解集为(?1,4]，故(x?4)(x?1)?0是?0的必要不充分条件.
x?1x?1word资料