loading自学考试：高等数学（工专）串讲讲义
例33：?2x(e?5)dx.x
知识点：不定积分的计算 运算性质
性质1 ?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx 性质2 ?k?f(x)dx基本积分表为前提 3?x5?1?k??f(x)dx ( k为非零常数 )
?kx?C?C1?0dx?C 2 ?kdx? (k为常数)，
dx?1??1x??1?C (???1)， 4 ?1dx?lnxx
1?x2dx?arctanx?C 6 ?， 10?csc11?x2dx?arcsinx?C7?cosdx?sin9?sec2x?C， 8 ?sindx?tanx?Cx2xdx??cosx?C，
， ，
xdx??cos1lnax12xdx??sin12dx??cotx?Cx11?sec13 ?axtanxdx?secx?Cx， 12 ?cscxxcotxdx??cscx?Cxdx?xax?C， 14 ?e?5?2)dxxxdx?e?Cx，
解：?2(e?5)dx??[(2e)?
x(2e)
ln(2e)?5x2ln2?C (3) ?dxx?3x?22
例34： (1) ?1cos2dx (2) ?x2e5?x??2????C?ln2?1ln2?dx2xx?2x?2
知识点：不定积分的第一换元积分法（凑微分法） 解：(1) ?1cos2dx??1?cos2d2??1sin2?C。
x2x2xx2x(2) ?(3) ??dxx?2x?2dxx?3x?222????1dx(x?1)?1dx2???d(x?1)(x?1)?12?arctan(x?1)?C1x?1dx。
(x?1)(x?2)?1x?2dx??
x?2x?1?C?1x?2d(x?2)??x?1d(x?1)?lnx?2?lnx?1?C?ln
注意：常见的凑微分公式
?f(ax?b)dx?1a?f(ax?b)d(ax?b),(a?0)f(e)edx?xx
x ?
?f(e)dex；
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? ? ? ?
??f(lnx)dxx??f(lnx)dlnx；
； ；
； ；
f(cosx)sinxdx??f(sinx)cosxdx?f(tanx)sec2?f(cosx)dcosx?f(sinx)dsinxxdx???f(tanx)dtanxf(arctanx)?dx1?x2?f(arctanx)darctanx 例35：求不定积分?x解：令?2?1?1f??dx??2xx????1?1f??d?x?x
3x?2dx.
知识点：不定积分第二换元法
3x?2=t，则x=t?2334,dx=2tdt3x3x?2dx??t?232?t?2tdt
52
52?t23????t?2t?dt???t??C99?53?2
注意：若被积函数中含有ax?b的式子，取换元t?例36：求不定积分（1）?lnxdx （2）?xedx nx?32??3x?2?22???3x?2?2?9?53????C???nax?b．
知识点：分部积分法 分部积分时的固定模式 ? 1）? 3）? 5)?xedx?nnxudv?uv??vdu。 xenn?x?xdenx 2）?dx???xdenn?x xcosxdx?xlnxdx?a1a?1??xdsinx 4）?xsinxdx???xdcosx nlnxdxa?1 6）?1xxarctanxdx?n1n?1?arctanxdxn?1
nn?11x1）arcsinxdx?arcsinxdx 7)? lnx?x?C?x?lnx?1??Clnxdx?xlnx??xd?x解：（n?1???nn?1xxxxxx1x2arccodxarccosxdx 8）?（xed?x?xde?e?x?edx?e?x?e?C） s?xn?1??? 注意：不定积分的几种计算方法有时需要结合使用，而且也可以移植到定积分的计算。 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 ?f(x)dx?F(x)?F(b)?F(a)
bbaa例37：设f(x)在[a,b]上连续，?(x)?? - 18 - xaf(t)dt，则 。 自学考试：高等数学（工专）串讲讲义
A、?(x)是f(x)在[a,b]上的原函数 B、f(x)是?(x)的一个原函数
C、?(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数D、f(x)是?(x)在[a,b]上唯一的原函数
知识点：变上限积分
解：?(x)??f(t)dt，?(x)是f(x)在[a,b]上的原函数，但不唯一，应选A。
xa例38：计算?1?1(x?4?x)dx22。
知识点：对称区间定积分计算的偶倍奇零。 设f(x)在[?a,a]上连续，
(1) 若f(x)为奇函数，则?f(x)dx?0；
a?aa?a(2) 若f(x)为偶函数，则?解：??1?1f(x)dx?2?a0f(x)dx．
(x?4?x)dx?222?1?1(4?2x14?x)dx2
?1?14dx??1?12x4?xdx?8?11?x2例39：函数y?。
在区间?0,1?上的平均值为____________。
0dx?0?8知识点：函数的平均值
函数f(x)在区间?a,b?上的平均值f(?)?解： f(?)?11?010?b?a1baf(x)dx
?m1011?xdx?arctanx2n10?arctan1?arctan0?m?4
例40：证明 ?x(1?x)dx??10x(1?x)dxn.
知识点：定积分的换元积分法，换元必换限，下限对下限，上限对上限
证明：令1?x?t,则x?1?t,dx??dt,
当x=0时，t=1,当x=1时，t=0,故
10?10x(1?x)dx=?mn?01(1?t)tdt?mn?(1?t)tdt?mn?10x(1?x)dxnm
. D. ???0例41：下列反常积分中发散的是
A．?edx B. ?1dx C????x????e1xlnx01x2dx11?x2dx
知识点：无穷限反常积分
???abf(x)dx?limb????a??af(x)dx?limF(x)b???ba?lim(F(b)?F(a))b???
???af(x)dx?F(x)??0?limF(x)?F(a)x???
解：??
??e?xdx=?e???x??0=lim?ex????x+1=11x21dx=?1x1?1??lim??????1??1x????x?
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???e1xlnxdx????e1lnxdlnx?lnlnx??0??e??
???011?x2dx?arctanx?x2?2?2?0??2
?1所围平面图形的面积例42.求曲线y4,y?x及直线yA. 知识点：平面图形的面积 x为积分变量，上边界减下边界再积分 S?ba?[?2(x)??1(x)]dx y为积分变量，右边界减左边界再积分． S??dc[?2(y)??1(y)]dy ?g2(y)?2y解：y为积分变量，右边界x左边界 x1 y?g1(y)?y 1根据对称性： A?2?[g2(y)?g1(y)]dy?2?[200y?y]dyy?1y?x2?2?10ydy?43 oy?x24 xa22x
例43：求由椭圆y?b1?绕x轴旋转一周而成的
y y?f(x)旋转体(称旋转椭球体)的体积． 知识点：旋转体体积： 由连续曲线y?f(x)，直线 x?a,x?b与x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积
V???ydx???[f(x)]dx。
b2b2aa x O ab由连续曲线x?g(y)，直线y?c,y?d与y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周所围成旋转体的体积
V???xdy???[g(y)]dy。
d2d2ccy dx?g(y)成的
解：旋转椭球体可看作是由上半个椭圆y?b围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体．
于是，旋转椭球体的体积
22a??x?x?2V???b?1?2?dx??b??1?2??dx?a?a?aa????a21?xa22O yy?b1?xa22cx 及x轴
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