loading约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A．4次 C．7次
B．6次 D．8次
解析：选C 根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。
GMm4π2
设宇宙飞船的周期为T，由2＝m2r，
rT得T＝2πr3T2?6 400＋4 200?3
，则2＝??，解得T＝3 h GM24?6 400＋36 000?
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有
?2π－2π?t＝π，解得t＝12 h
?T11
T0?7??
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有
?2π－2π?t＝2π，解得t＝24 h ?T22
T0?7??
24－t1
由n＝＝6.5次知，接收站接收信号的次数为7次。
t2
13.(2020·江西宜春统考)某空间站在半径为R的圆形轨道上运行，周期为
T；另有一飞船在半径为r的圆形轨道上运行，飞船与空间站的绕行方向相同。
当空间站运行到A点时，飞船恰好运行到B点，A、B与地心连线相互垂直，此时飞船经极短时间的点火加速，使其轨道的近地点为B、远地点与空间站的轨道相切于C点，如图所示。当飞船第一次到达C点时，恰好与空间站相遇。飞船上有一弹簧秤悬挂一物体。由以上信息可判定( )
A．该空间站的动能小于飞船在半径为r的圆形轨道上运行时的动能 B．当飞船与空间站相遇时，空间站的加速度大于飞船的加速度
C．飞船在从B点运动到C点的过程中，弹簧秤的示数逐渐变小(不包括点火加速阶段) 3
D．空间站的圆形轨道半径R与飞船的圆形轨道半径r满足r＝(2－1)R
Mmv2
解析：选D 当空间站和飞船均做圆周运动时，其万有引力提供向心力，即G2＝m，则线速度大小rr为v＝GM，由于空间站的运行半径大于飞船的运行半径，空间站的速度大小小于飞船的速度大小，由r12
于二者的质量关系未知，根据动能的公式Ek＝mv无法判断二者的动能大小关系，故选项A错误；当飞船
2与空间站相遇时，根据牛顿第二定律有G2＝ma，即a＝G2，可知二者相遇时其加速度的大小相等，故选
6
MmRMR项B错误；飞船在从B点运动到C点的过程中，万有引力为合力，在飞行过程中处于完全失重状态，弹
R3
簧秤没有示数，故选项C错误；设飞船在椭圆轨道运行的周期为T′，则根据开普勒第三定律可知2＝
T?R＋r?3?2???
113
，由题可知T＝T′，联立可以得到r＝(2－1)R，故选项D正确。 T′242
14．[多选](2020·聊城模拟)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇
宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则( )
A．b星的周期为
l－ΔrT l＋Δrl－Δr
Tll－Δr
π
B．b星的线速度大小为
C．a、b两星的轨道半径之比为D．a、b两星的质量之比为
l－Δr l＋Δr解析：选BD 两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，故A项错误。a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝比＝
l＋Δr2
、rb＝
l－Δr2
。a、b两星的轨道半径之
ral＋Δr2πrbπl－Δr，b星的线速度大小vb＝＝，故B项正确，C项错误。两颗星绕它们连线
rbl－ΔrTTmamb?2π?2＝mr?2π?2，所以a、b两星的质量
＝mraa??bb??l2?T??T?
上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则G之比＝＝marbl－Δr，故D项正确。
mbral＋Δr15．[多选]如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星P、Q组成，P、Q质
量分别为M、m(M>m)，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球上A点看过去，双星运动的平面与AO垂直，AO距离恒为L。观测发现质量较大的恒星P做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sin Δθ＝tan Δθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则( )
2π
A．恒星Q的角速度为 TM mB．恒星Q的轨道半径为
ML·Δθ 2m 7
πML·ΔθC．恒星Q的线速度为
mTD．两颗恒星的质量m和M满足的关系式为
m3m＋Mπ
2＝
2
L·Δθ22GTT3
2π
解析：选BCD 恒星P与Q具有相同的角速度，则角速度ω＝，A错误；恒星P的轨道半径R＝Ltan Δθ1ML·Δθ22
＝L·Δθ，对双星系统，有mωr＝MωR，解得恒星Q的轨道半径为r＝，B正确；恒星222mQ的线速度大小v1＝ωr＝GMmR＋r2
2
2
2πML·ΔθπML·Δθ·＝，C正确；对双星系统，由万有引力提供向心力有T2mmT2
2
2
2
2
3
2
＝mωr＝MωR，解得GM＝ωr(r＋R)，Gm＝ωR(r＋R)，相加得G(M＋m)＝ω(R＋r)，又由
2
mωr＝MωR，联立可得
m3m＋Mπ
2＝
2
L·Δθ22GT3
，D正确。
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