loading上海市重点中学重要考题精选及精解（5）
1．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图：圆锥的顶点是S，底面中心为O。OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点。
（1）求证：BC与SA不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为arccos
．（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分） 解：（1）
证法一：反证法：若BC?SA，连AC，由AB是直径 则AC?BC，所以BC?平面SAC 则BC?SC
3分
2分 D O C x B A D O C B
2，求圆锥的体积。 6S z S 又圆锥的母线长相等，?SCB是等腰三角形SBC的底角， A 则?SCB是锐角 4分
与BC?SC矛盾，所以BC与SA不垂直 6分 证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为h，底面 半径为r，则B(0,r,0),C(r,0,0),A(0,?r,0)
y S(0,0,h)，SA?(0,?r,?h),BC?(r,?r,0)
3分
SA?BC?r2?0 5分
所以BC与SA不垂直
6分
（2）建立如图坐标系，设底面半径为r，由高为4。则D(,0,2)，则AD?(,r,2)，
r2r2BC?(r,?r,0)
8分
cos?AD,BC??r2?22r2?4?5r42??r2?16?5r2 10分
由AD与BC所成角为arccos所以V?2r2，所以，解得r?2 12分 ?2662?16?5r14分
1216??rh? 332．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，圆x2?y2?4与y轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足DM?1DP。 2 （1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形。
（2）过点B的直线l与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若BF?2BE，求直线l的方
程。
．（本题共2小题，其中第一小题6分，第二小题8分，满分14分） 解：（1）
设M(x,y),P(x0,y0)，则题意DP?x轴且M是DP的中点， O y B M D P x
?x0?x所以?
y?2y?0222分
y B 22又P在圆x?y?4上，所以x0?y0?4，即
M P x2x?(2y)?4，即?y2?1
4224分
O D x 轨迹是以(3,0)与(?3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆。 6分 注：只说轨迹是椭圆扣1分。
（2）方法一：当直线l的斜率不存在时，B(0,2),E(0,1),F(0,?1)，不满足题意。 7分
设直线l方程为y?kx?2，代入椭圆方程得：(1?4k)x?16kx?12?0 △?(16k)?48(1?4k)?0?k?222223 9分 4
16k?x?x????121?4k2设E(x1,y1),F(x2,y2)，则? （＊） 11分
?x?x?1212?1?4k2?由BF?2BE知E是BF中点，所以x2?2x1 （＊＊） 由（＊）、（＊＊）解得k?2
2733152满足k?，所以k?? 2041013分
即所求直线方程为：y??315x?2 14分 10注：解题过程中若不验证斜率不存在或△符号时，扣1分。
F?2BE知E是BF中点，又B(0,2)，所以F(2x0,2y0?2)，方法二：设E(x0,y0)，由B22?x?4y?00?422因E,F都在椭圆x?4y?4上，所以?2 9分 2??x0?4(y0?1)?1
解得：x0??157,y0? 4811分
若E(?157y?2315 ,)，则k?0??48x010315x?2 14分 1013分
所以直线l方程为：y??3..(16分)在直角坐标平面中，ΔABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(?77,0)，,0)，B(77两动点M,N满足MA+MB+MC=0，|NC|=7|NA|=7|NB|，向量MN与AB共线.
(1)求?ABC的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点P(0,1)的直线与(1) 轨迹相交于E,F两点，求PE·PF的取值范围；
解：(1)设(x，y)，∵MA+MB+MC=0，∴M(，). 33
xy又|NA|=|NB|且向量MN与AB共线，∴N在边AB的中垂线上，∴N(0，). 3而|NC|=7|NA|，∴
4
x+y2=79
2
y1212ya+y，即x2― =1?y?0?.------6分 793
2
2
(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，过点P(0，1)的直线方程为y=kx+1，代入x―得 (3―k)x―2kx―4=0?x??1?∴Δ=4k+16(3―k)>0，k<4
2
2
2
2
2
y2
3
=1
k???2,2??k??3,?1. ------------------------------4分
2k?4，x. 1x2=223?k3?k?而x1，x2是方程的两根，∴x1+x2=
?4(1?k2)∴PE·PF=(x1，y1―1)·(x2，y2―1)= x1x2+kx1·kx2=----.----2分 23?k即PE·PF=4(1+
44??) ????,?4????4,????20,??? k―33??2
故PE·PF的取值范围为???,?4????4,????20,??? ---------------4分
3??4??4．（本题满分14分）如图，二面角D—AB—E的大小为AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
⑴求证AE⊥平面BCE； ⑵求二面角B—AC—E的大小； ⑶求点D到平面ACE的距离.
解：（1）易得BC垂直平面ABE，则BC?AE BF垂直平面ACE，所以BF?AE
所以AE垂直平面BCD。…………..4’
（2）取AC中点O，连接BO，OF，易得
?2，四边形ABCD是边长为2的正方形，
BO^AC，再由BF垂直平面ACE得FO^AC， 所以角BOF即为二面角B—AC—E的平面角或其 补角。…………………………………………..2’ AE垂直BE，所以AE=BE=小为arcsin2，则BF=23，又BO=32，所以二面角B—AC—E的大
6……………………………………..3’ 3（3）解一：易知E到平面ACD的距离d就是E到AB的距离，即d=1