loading第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2015）
一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
?2???sinsin?sin??nn（1）极限limn?2?2???2?? . n??n?1n?2n?n????（2）设函数z?z?x,y?由方程F?x???zz?,y???0所决定，其中F?u,v?具有连续偏导yx?数，且xFu?yFv?0。则x?z?z?y? . ?x?y（3）曲面z?x2?y2?1在点M?1,的切平面与曲面所围区域的体积?1,?3是 .
?,0?3,x???5?（4）函数f?x???在??5,5?的傅立叶级数在x?0收敛的值.??0?,5??0x是 .
（3）设区间?0,???上的函数u?x?定义域为的u?x?????0e?xtdt，则u?x?的初等函数表
2达式是 .
二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。
三、（12分）设f?x?在?a,b?内二次可导，且存在常数?,?，使得对于?x??a,b?，有
f??x???f?x???f?x?，则f?x?在?a,b?内无穷次可导。 n3?2n四、（14分）求幂级数??x?1?的收敛域，及其和函数。
n?0?n?1?!?五、（16分）设函数f?x?在?0,1?上连续，且（1）?x0??0,1?使f?x0??4 （2）?x1??0,1?使f?x1??4
?10f?x?dx?0,?xf?x?dx?1。试证：
01五、（16分）设f?x,y?在x?y?1上有连续的二阶偏导数，且fxx?2fxy?fyy?M。若
22222f?0,0??0,fx?0,0??fy?0,0??0,证明：
x2?y2?1??f?x,y?dxdy??M4。