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第5章连续时间信号的抽样与量化
5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
(t)(tnT)
sn
T
由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
1
Fs()F()T 2
1
T n s
()
Fn
s
式中F()为原信号f(t)的频谱，T()为单位冲激序列T(t)的频谱。可知抽样后信 号的频谱()
F由F()以s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果s2m，即抽样
m 1 间隔 T
sf
2
，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 m
，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 2 m
1
原信号。因此必须要求满足 T
sf
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：
2t（1）Sa(50t)（2）Sa(100)
2t（3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)
SatSa
解：抽样的最大间隔 Ts12f称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs2fm称为奈奎
m
s2称为奈奎斯特频率。
m
25 f， m
1 T。 sf
s
50
斯特速率，最低采样频率
（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s，则
50)
50
50
由抽样定理得：最低抽样频率
fs2fm，奈奎斯特间隔
2t
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（2）)
Sa(100)(1
100200
脉宽为400，由此可得rads
m200/，则
100
f，由抽样定理得最低抽样频率 m
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200
fs2fm，奈奎斯特间隔
1 T。 sf
s
200
（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s
(50t)uu 50
Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s
100
50
Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低
m 抽样频率
100
fs2fm，奈奎斯特间隔
1 T。 sf
s
（4）Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100
100
2t
Sa(60)(1)，该信号频谱的m120rad/s
60120
2t
60
f，由抽样定理得最 m
1 T。 sf
s
120 100
所以(100)(60)
SatSa频谱的m120rad/s,则
120
低抽样频率
fs2fm，奈奎斯特间隔
5.3系统如题图5.3所示，f1(t)Sa(1000t)，f2(t)Sa(2000t)，
p(t)(tnT)，f(t)f1(t)f2(t)，fs(t)f(t)p(t)。
n （1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。 （2）当TTmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs()。
f1(tf(t)
)
时域相乘时域抽样
fs(t )
f2(tp(t)
)
题图5.3
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解：
（1）先求f(t)的频谱F(j)。 1
f1(t)Sa(1000t)F1(j)[u(1000)u( 1000
1000)]
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1 2000)]
f2(t)Sa(2000t)F2(j)[u(2000)u( 2000 F(j) 1 2 F(j 1 )F(j 2 )
1 1
1
2
[(u( 1000)u(1000)) 1000 2000
(u( 2000 ) u(
2000 1 6
4 10{(3000)[u(3000)u(1000)]
2000[u(1000)u(1000)](3000)[u(1000)u(3000)]}
由此知F(j)的频谱宽度为6000，且rads
m3000/，则fm1500Hz，抽样
11
的最大允许间隔s
T max
2fm3000
（2）p(t)(tnT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输
n 入信号f(t)的频谱密度为F()，而单位冲激序列的频谱密度为：
2
p()(n)其中s
2
s
T
T n
则根据频域卷积定理得抽样信号f(t) s的频谱为：
11
Fs()[F()*p()]F(n)
s
2T
n
2
，幅度谱如下图所表而TTmax，则s300026000rad/s
示。
T max
t
5.4对信号f(t)eu(t)
进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的
频谱。
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)
]