loading第5章 相对论习题
5-1 观察者A测得与他相对静止的XOY平面上一个圆的面积是12cm,另一观察者B相对A以0.8C(C为真空中光速)平行于XOY平面作匀速直线运动,B测得这一图形为一椭圆,面积是多少(椭圆面积S=πab，a、b为长短半轴).
2
5-2 一宇宙飞船固有长度,L0?90m相对地面以v=0.8c匀速度在一观测站上空飞过,则观测站测得飞船船身通过观测站时间间隔是多少?宇航员测得船身通过观测站的时间隔是多少?
解：设地面为S系，飞船为S′系，则观测站测飞船长度为L?L01?间间隔是
?2c2.所以，观测站时
?t?LL01???2c2?901?0.82?2.25?10?7s 0.8cL0??0，宇航员观察S系中的钟是以-v在运
??宇航员在S′系测得船身通过的时间是?t???动，所以宇航员测得船身通过观测站的时间隔是
L0 ?t???0??1??2c2?2.25?10?7s
165-3 半人马星座α星是太阳系最近的恒星，它距地球为 4 . 3 ? 10 m。设有一宇宙飞船，
以v=0.999c的速度飞行，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？
4.3?1016解：在地面上观测飞船往返一次的时间为?t?2??2.87?108s；
0.999c 4.3?10161?0.9992 在飞船上观测距离缩短，测得时间为?t???1.28?107s；或运动的
0.999c4.3?1016钟测得?t??1?0.9992?1.28?107s.
0.999c5-4 观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系K和K′中,甲测得在同一地点发生的两个事
件的时间间隔为4S,而乙测得这两个事件的时间间隔为5S,求:(1) K′相对于K的运动速度；(2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离.
解：（1）设两事件的时空坐标见下表
K系 K′系 事件1 (x1,t1) ?,t1?) (x1事件2 (x1,t2) ?,t2?) (x2由洛伦兹变换t???(t??x/c2)得
?t???(?t???x/c2)??t/1??2/c2
?t24)?c1?()2?0.6c. ?t?5解上式得 ??c1?( （2）由洛伦兹变换t??(t???x?/c2)得
?t??(?t????x?/c2)
?tc2??x1??(解之得 ?x??x2???t?)??(41?0.62?5)?5?108??9?108m
5-5 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计
4-44
时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10s，以及x2=12×10m, t2=1
-4
×10s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2)
S?系中测得的两事件的空间间隔是多少?
解:（1）由洛伦兹变换t???(t??x/c2)得
?t???(?t???x/c2)?0
c?t3?108?(?1)?10?4解之得 ??c??3?108??1.5?108m/s 4?x6?10（2）由x??(x???t?)得
?x??(?x????t?)???x?
所以 ?x???(?x????t?)??x/??6?1041?0.52?5.2?104m
5-6 长度l0?1m的米尺静止于S′系中，与x?轴的夹角???30o，S′系相对S系沿x轴
运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为??45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．
解:（1）由教材p152例题5.3有tan???tan??得 tan??2)?0.816c tan?x?tan??tan??（2）在x方向尺会缩短，即x??x??l0cos???0.5m；y方向没运动，长度
?tan?tan?不变，即y?y??l0sin???0.5m。所以，S系测得尺的长度为
o ??c1?( l?x2?y2?0.707m
5-7一门宽为a，今有一固有长度l0(l0?a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?
题5-7图
解: 根据运动杆收缩公式l?l0时被拉进此门，因此
l?l0
u21?2，当l?a时，在门外的观察者认为此杆的两端能同cu2a21?2?a?u?c1?2 cl05-8 两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果
O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇?
解: 观察者O在静止系测得OO′=20m，观察者O′测得OO′是运动的，长度会收缩。即
u2 l?OO?1?2?16m
c于是，O?测得时间是
?t??l?8.89?10?9s 0.6c5-9观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S′中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：(1) S′相对于S的运动速度．(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解: 见题5-4.
5-10一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解: 设宇航员的运动速度为υ，则有
l?3 ??c1?()2?c1?()2?0.8c
l55-11根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?
?0解: 设地球为静止系，则在这颗脉冲星上测光脉冲周期为固有时。根据??得
2?1-c2