loading考点56 圆中的最值问题
要点阐述
与圆有关的最值问题，往往知识面广、综合性强、应用性强，而且情境新颖，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素养．
典型例题
【例】已知两点A（–2，0），B（0，2），点C是圆x+y–2x=0上任意一点，则△ABC的面积最小值是（ ） A． C．3– 【答案】A
B． D．
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小试牛刀
1．若实数x，y满足（x＋5）＋（y－12）＝14，则x＋y的最小值为（ ）
A．2 C．3 【答案】B
B．1 D．2
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【解析】由几何意义可知最小值为14－5＋12＝1．
2．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x＋y－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
【答案】7
【解析】直线y＝x＋1上点P（x0，y0）到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝|PC|-1＝(x0-3)＋y0-1＝2x0－4x0＋9＝2(x0－1)＋7≥7．
【易错易混】容易理解为圆上的点到直线的距离，本质是d＝|PC|-1．
3．已知点A（8，－6）与圆C：x＋y＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．
【答案】5
【解析】由于8＋（－6）＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为＝10－5＝5． 【解题策略】利用数形结合思想解题能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．
4．如果圆的方程为x＋y＋kx＋2y＋k＝0，那么当圆面积最大时，圆心为__________．
【答案】（0，－1）
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5．已知点在圆上，点在圆上，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】两圆的圆心和半径分别为C1（4，2），r1=3,C2（–2,–1）,r2=2，
?PQmin?C1C2?r1?r2?(4?2)2?(2?1)2?3?2?35?5 6．如果实数x、y满足方程（x–3）十（y–3） =6．求：
（1）的最大值与最小值； （2）x+y的最大值与最小值
【思路分析】需考虑代数式及x+y的几何意义，运用数形结合法求解． 【解析】（1）设P（x，y），且P点的轨迹是已知圆C：（x–3）+（y–3）=6． 而的几何意义就是直线OP的斜率（O为坐标原点）． 设=k，则直线OP的方程为y= kx．
由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
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∵点C到直线y=kx的距离d= ∴当=，即k=3时，直线OP与圆相切． ∴上的最大值与最小值分别是 3和3–．
【解题技巧】有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解．一般地，①形如的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题；②形如t= ax+by的最值问题常转化为动直线截距的最值问题．
考题速递
1．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A．36 C． 【答案】C
【解析】圆的圆心为（2，2），半径为，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选C．
2．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x＋y≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方程为（ ）
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B．18 D．
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