loading2019年
“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，
cn，mn.
“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：am，
an，bm，bn，cm，cn，
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则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率P2＝＝.
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探究提高 1.准确区分古典概型与几何概型，其本质区别在于试验结果是有限还是无限. 2.对于较复杂的古典概型的基本事件空间，最易出现“重”和“漏”，要避免这类错误，首先要正确理解题意，明确一些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等；其次，要按一定的规律列举.
【训练2】 某校为了了解A，B两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们观看的时长(单位：小时)作为样本，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；
(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率. 解 (1)A班样本数据的平均值为 1
(9＋11＋14＋20＋31)＝17. 5
由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时；
B班数据的平均值为(11＋12＋21＋25＋26)＝19.
由此估计B班学生平均观看时间大约为19小时； 则19>17.
由此估计B班学生平均观看时间较长.
(2)A班的样本数据不超过19的数据a有3个，分别为9，11，14.
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B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11，12，21，
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从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9，11)，(9，12)，(9，21)，(11，11)，(11，12)，(11，21)，(14，11)，(14，12)，(14，21)， 其中a>b的情况有(14，11)，(14，12)两种， 2
故a>b的概率P＝.
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热点三 概率与统计的综合问题(规范解答)
统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算.
【例3】 (满分12分)(2018·豫北名校调研)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率. 满分解答 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
3分 (得分点1)
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
5分 (得分点2)
(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，
8分 (得分点3)
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.
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11分 (得分点4)
1
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.
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12分 (得分点5)
?得步骤分：步骤规范，求解完整，解题步骤常见的失分点，第(2)问中，不能用频率估计概率，第(3)问中步骤不完整，没有指出“基本事件总数”与“事件M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分.
?得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写，少写均不得分.
?得计算分：如第(1)、(2)问中，要理清频率直方图的意义，计算正确，否则导致后续皆错大量失分，第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，准确列出基本事件，正确计算概率.
第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值. 第二步：由样本频率分布估计概率.
第三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件. 第四步：利用古典概型概率公式计算.
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范.
【训练3】 (2018·江西九校联考)某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：
高一年级 高二年级 (1)①求出表中的x，y的值；
支持 18 10 无所谓 反对 2 x 6 y ②从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率； (2)根据表格统计的数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持态度与就读年级有关(不支持包括无所谓和反对).
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支持 不支持 总计 2
高一年级 高二年级 总计 n（ad－bc）2附：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 4545
解 (1)①由题意x＝×500－(18＋2)＝5，y＝×400－(10＋6)＝4.
900900②假设高一反对的同学编号为A1，A2，高二反对的同学编号为B1，B2，B3，B4，
则选取两人的所有结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，
B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共
15种情况.
可得恰好高一、高二各一人包含(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)共8种情况. 8
所以所求概率P＝.
15(2)如图2×2列联表：
支持 不支持 总计 高一年级 18 7 25 2高二年级 10 10 20 总计 28 17 45 45×（180－70）
K的观测值为k＝＝2.288<2.706，
28×17×25×20
2
所以没有90%的把握认为持支持态度与就读年级有关.
1.(2018·安徽江南十校联考)为了对某校高三(1)班9月调考成绩进行分析，在全班同学中随机抽出5位，他们的数学分数、物理分数、化学分数(均已折算为百分制)对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5