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7.4平行线的性质
专题 与平行线有关的探究题
1．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）
2．利用平行线的性质探究：
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．
答案：
1． 解：如图：
（1）∠APC=∠PAB+∠PCD； 证明：过点P作AB∥PF， ∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，
∴?APF??PBA,?CPF??PCD（两直线平行，内错角相等）,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； （3）∠APC=∠PAB-∠PCD； （4）∠PCD=∠PAB+∠APC.
2．解：（1）如图，当动点P落在第②部分时,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；
（2）当动点P落在第③部分时, ∠PAC=∠APB+∠PBD； 当动点P落在第○4部分时，∠PAC =∠APB+∠PBD． 证明：如图，∵∠PAC=∠AEB， ∠AEB=∠PBD+∠APB， ∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．