loading有理数的乘方及混合运算（提高）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：aa???a?an.在a中，a叫做底数， n叫做指数.
nn个
要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
1
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是5，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1.下列各数：①﹣1；②﹣（﹣1）；③﹣1；④（﹣1），其中结果等于﹣1的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【答案】A．
【解析】解：①﹣1=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）=﹣1，符合题意；③﹣1=﹣1，符合题
2
意；④（﹣1）=1，不符合题意．
2
2
3
2
2
3
2
故选A．
(?a)【总结升华】注意(?a)与?a的意义的区别．
nn2n(?a)2n?1??a2n?1?a2n（n为正整数），
（n为正整数）．
举一反三：
33
【变式1】比较(-5)与-5的异同．
【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；
33
不同点：(-5)表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-5表示5的3次方的相反
3
数，即-5＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同． 【变式2】（2015?杭州模拟）若n为正整数，（﹣1）=（ ） A．1 B． ﹣1 C． 2n 【答案】A．
因为n为正整数，2n一定是偶数，所以（﹣1）=1.
2n
2n
D． 不确定
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
?5?2010
(-2)，(-3)，(-1.0009)，??，-(-2)
?3?7
24
2009
5【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：
?5?7242009
(-2)运算的结果是负；(-3)运算的结果为正；(-1.0009)运算的结果是负；???3?2010
5运算的结果是正；-(-2)运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：
1n???1???1????1?【变式】当n为奇数时，?44【答案】0
nnn?1? ．
类型三、有理数的混合运算
3.计算：
23
（1）-(-3)+(-2)÷[(-3)-(-5)]
321044
（2）[7-6×(-7)-(-1)]÷(-21-24+21)
??1?1?22（3）????????2?；
?2?2?33?13?1?1??1??1（4）?????2???11?2?13??24? 334??4??2??4??0.2?23【答案与解析】（1）-(-3)+(-2)÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13
321044
（2） [7-6×(-7)-(-1)]÷(-21-24+21)
2244
＝(7×7-6×7-1)÷(-21+21-24)
2
＝[7×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式???23
181221111?[?(2?)]????? 2338324（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
13?1?1??1??1??2?11?2?13?24???????334??4??2??4??0.2?15457551?(?)?(??)?24?1162434(?)351257?????24??24?12516523139???60?56?125?1204040?举一反三：
2??【变式】计算：（1）?1-?1-0.5×??×?2-?-3????2
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
???1?3??
13（2）-14-×?2-?-3??
?6?113（3）(1+-2.75)×(-24)+(-1)2011--2
38（4）
11-+|-23-3|32(-0.1)(-0.2)
【答案】（1）原式 ??1?5????7??1×-7 =-7
????666 ??7111（2-9）=×?-7? =-?）
662311352--27=-1-×29=-（2）原式=-1-×? ????6?664111×(-24)-1-8=-32-3+66-9=22 (3) 原式=(+-)384或原式=（1-1+
(4) 原式?11-+|-8-3|
-0.0010.04=-1000-25+11=-1014
20114.计算：(?2)?22012
【答案与解析】逆用分配律可得：
(?2)2011?22012??22011?22012?22011(?1?2)?1?22011?22011
【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有2举一反三：
【变式1】计算：2?2?2?2?2?...?2?2?2?2 【答案】原式
=2?2?2?2?...?2?2?2?2?2?2?2?...?2?2?2?2
1918171643218171643220191817164322n?1?22n?22n;22n?22n?1?22n?1
?...?22?2?2
3747433747347【答案】(?)?(?)?[(?)?(?)]?1
4343类型四、探索规律
【变式2】计算：(?)?(?)
5.求1+2+2+2+…+22S﹣S=2
2014
2
3
2013
的值，可令S=1+2+2+2+…+2
2
3
2014
232013
，则2S=2+2+2+…+2
232014
，因此
﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+5+5+…+5
2
3
2014
= ．
【答案】
解：设S=1+5+5+5+…+5，
232015
则5S=5+5+5+…+5，
2320152320142015
5S﹣S=（5+5+5+…+5）﹣（1+5+5+5+…+5）=5﹣1， 所以，S=
．
2
3
2014
【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+5+5+…+5减求出S即可． 举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，… ②0，12，-24，84，-240，732，… ③-1，3，-9，27，-81，243，…
，表示出5S=5+5+5+…+5
232015
，然后相