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，BF2=BF1+F1F2=
或
．
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故BF的长为
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
3．（大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： （1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等
即可证得；
（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．
解答： （1）证明：∵在△CBF和△DBG中，
，
∴△CBF≌△DBG（SAS）， ∴CF=DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG， ∴∠BCF=∠BDG， 又∵∠CFB=∠DFH， ∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键． 4．（阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三
角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；
②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；
（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．
解答： 解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；
②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分 在△ABD与△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE…1分
延长BD交AC于F，交CE于H． 在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC ∴∠CHF=∠BAF=90° ∴BD⊥CE…3分
（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定
理． 注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．
5．（仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）若AB=AC，请探究下列数量关系： ①在图②中，BD与CE的数量关系是 ；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； （2）若AB=k?AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
考点： 全等三角形的判定． 专题： 压轴题；探究型．
分析： （1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN
中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接类比（1）中结果可知AM=k?AN，∠MAN=∠BAC．
解答： 解：（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC，
∵∠DAE=∠BAC， ∴∠CAE=∠BAD， 在△BAD和△CAE中 ∵
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE=∠ABD， ∵DM=BD，EN=CE， ∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中， ∵
∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴AM=AN，
∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；
（2）AM=k?AN， ∠MAN=∠BAC．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．
6．（台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE = CF；EF = |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA=180° ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
考点： 直角三角形全等的判定；三角形内角和定理． 专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案． 解答： 解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°， ∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA； ∴△BCE≌△CAF，
∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α． ∵∠BCA=180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA． 又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA， ∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA， ∴△BCE≌△CAF（AAS） ∴BE=CF，CE=AF， 又∵EF=CF﹣CE， ∴EF=|BE﹣AF|．
（2）EF=BE+AF．
点评： 本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用． 7．（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）