loading9．（泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 _________ ；∠APB的大小为 _________ ；
（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k?OB，OC=k?OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 _________ ；∠APB的大小为
10．（南宁）（A类）如图，DE⊥AB、DF⊥AC．垂足分别为E、F．请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）． ①AB=AC；②BD=CD；③BE=CF
已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF
已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=AC，BE=CF 求证：BD=CD
已知：DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，BD=CD，BE=CF 求证：AB=AC
（B类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）． ①AB=AC；②DE=DF；③BE=CF 已知：EG∥AF，AB=AC，DE=DF 求证：BE=CF
新人教版八年级上学期全等三角形证明题
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题） 1．（泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 根据中线的定义可得BD=CD，然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等，根据全等三角形对应
边相等即可得证．
解答： 证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE=CF．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握
并灵活运用．
2．（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°． （1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2 ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可
得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求
出AC=AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC
的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
解答： 解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此时S△DCF=S△BDE， 过点D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°， ∴△DF1F2是等边三角形， ∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°， ∴∠CDF1=180°﹣30°=150°， ∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°， ∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS）， ∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°， 又∵BD=4， ∴BE=×4÷cos30°=2÷
=
，