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[方法指津]
与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． 2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． 3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
[变式训练2] (名师押题)已知抛物线C：x＝2py(p＞0)，过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝16. (1)求抛物线C的方程；
(2)已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0,4)，若动圆P与x轴交于A，B两点，|DA||DB|求＋的最大值. 【导学号：68334132】 |DB||DA|
[解] (1)设抛物线的焦点为F?0，?，
?2? 则直线l：y＝x＋.
2
2
?
p?pp??y＝x＋，2 由?
??x2＝2py，
得x－2px－p＝0，
22
∴x1＋x2＝2p，∴y1＋y2＝3p， ∴|MN|＝y1＋y2＋p＝4p＝16，∴p＝4， ∴抛物线C的方程为x＝8y.
2
4分
(2)设动圆圆心P(x0，y0)，A(x1,0)，B(x2,0)，
则x0＝8y0，且圆P：(x－x0)＋(y－y0)＝x0＋(y0－4)， 令y＝0，整理得x－2x0x＋x0－16＝0， 解得x1＝x0－4，x2＝x0＋4， |DA| 设t＝＝|DB|
6分
1－
16x0
，
x＋8x0＋32
20
2
2
2
2
2
2
2
x0－x0＋
2
＋16
＝2＋16
x20－8x0＋32
＝
x20＋8x0＋32
当x0＝0时，t＝1， ① 当x0≠0时，t＝
1－
. 32
x0＋8＋16
7分
x0
32
∵x0＞0，∴x0＋≥82，
x0
∴t≥161－＝3－22＝2－1，且t＜1， ② 8＋82
综上①②知2－1≤t≤1. 11分
1
∵f(t)＝t＋在[2－1,1]上单调递减，
t|DA||DB|11 ∴＋＝t＋≤2－1＋＝22，
|DB||DA|t2－1 当且仅当t＝2－1，即x0＝42时等号成立． |DA||DB| ∴＋的最大值为22.
|DB||DA|
15分
热点题型3 圆锥曲线中的探索性问题
题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
x2y2
【例3】 如图13-5，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞
abb＞0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，D(1,0)为线段OF2的中点，且AF2
→
＋5BF2＝0.
→
图13-5
(1)求椭圆E的方程；
(2)若M为椭圆E上的动点(异于点A，B)，连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD，ND并分别延长交椭圆E于点P，Q，连接PQ，设直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2.试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
[解题指导] (1)D为OF2的中点→求c→→椭圆方程
(2)假设存在常数λ→设点M，N，P，Q的坐标→
直线MD的方程与椭圆方程联立→用点M的坐标表示点P，Q的坐标→ 点M，F1，N共线→得到点M，N坐标的关系→求k2→得到k1与k2的关系
＝0→a与c的关系
→→→→
[解] (1)∵AF2＋5BF2＝0，∴AF2＝5F2B，∵a＋c＝5(a－c)，化简得2a＝3c，又点D(1,0)
为线段OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，b＝5，左焦点F1(－2,0)，故椭圆E的方程为
x2y2
9
＋＝1. 5
4分
(2)假设存在满足条件的常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
x1－1x2y25－x1x1－1
则直线MD的方程为x＝y＋1，代入椭圆方程＋＝1，整理得，2y2＋yy195y1y1
－4＝0， ∵y1＋y3＝
6分
y1x1－
x1－5
，∴y3＝
4y15x1－9?5x1－9，4y1?，
，从而x3＝，故点P??x1－5x1－5?x1－5x1－5?
10分
?5x2－9，4y2?.
同理，点Q??
?x2－5x2－5?
∵三点M，F1，N共线，∴
＝， x1＋2x2＋2
y1y2
4y14y2
－y3－y4x1－5x2－5x1y2－x2y1＋y1－y2
从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)，从而k2＝＝＝＝
x3－x45x1－95x2－9x1－x2
－x1－5x2－5
y1－y27k14k2
＝，故k1－＝0，从而存在满足条件的常数λ，
x1－x247 λ＝－. [方法指津]
探索性问题求解的思路及策略
1．思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
2．策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
47
15分
x2y2
[变式训练3] 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，
ab点P在椭圆C上，满足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝43. (1)求椭圆C的方程；
(2)已知点A(1,0)，试探究是否存在直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于D，E两点，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【导学号：68334133】
7aa [解] (1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝. 44
2分
由余弦定理得cos∠F1PF＝＝7 ∴a＝2，
?7a?2＋?a?2－????1?4??4?
7aa2××44
3
2
，
∴所求C的方程为＋y＝1.
4
x2
2
4分
(2)假设存在直线l满足题设，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，将y＝kx＋m代入＋y＝1并
4整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，由Δ＝64km－4(1＋4k)(4m－4)＝－16(m－4k－1)＞0，得4k＋1＞m.① 8km 又x1＋x2＝－2.
1＋4k2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
x2
2
6分
?4km2，m2?，kk＝－1，得m＝－1＋4k，②
设D，E中点为M(x0，y0)，M?－?AM3k?1＋4k1＋4k?
2
2
2
?1＋4k?2，化简得20k4＋k2－1＞0?(4k2＋1)(5k2－1)＞0，解得k 将②代入①得4k＋1＞???3k?
＞
555??或k＜－，所以存在直线l，使得|AD|＝|AE|，此时k的取值范围为?－∞，－?555??
15分
∪?
?5?，＋∞?. ?5?