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几何综合题
1.已知△ABC中，AD是?BAC的平分线，且AD=AB， 过点C作AD的垂线，交 AD的延长线于点H． （1）如图1，若?BAC?60? ①直接写出?B和?ACB的度数； ②若AB=2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 答案：
（1）①?B?75?，?ACB?45?；
②作DE⊥AC交AC于点E.
Rt△ADE中，由?DAC?30?，AD=2可得DE=1，AE?3. Rt△CDE中，由?ACD?45?，DE=1，可得EC=1. ∴AC?3?1.
Rt△ACH中，由?DAC?30?，可得AH?3?32；
（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC
证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接
.
GH
易证△ACH≌△AFH.
∴AC?AF,HC?HF. ∴GH∥BC. ∵AB?AD， ∴ ?ABD??ADB. ∴ ?AGH??AHG . ∴ AG?AH.
∴AB?AC?AB?AF?2AB?BF?2?AB?BG??2AG?2AH.
2.正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转?，所得射线与线段BD交于点M，作CE?AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN． （1）如图1，当0????45?时， ①依题意补全图1．
②用等式表示?NCE与?BAM之间的数量关系：__________．
（2）当45????90?时，探究?NCE与?BAM之间的数量关系并加以证明． （3）当0????90?时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．
ABABMD图1CD备用图C
答案：（1）①补全的图形如图7所示．
②∠NCE=2∠BAM．
（2）当45°<α<90°时，?NCE=180??2?BAM．
证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H．
（3）2?1
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，
点A与点C关于直线BD对称． ∵ 射线AM与线段BD交于点M， ∴ ∠BAM=∠BCM=α． ∴ ∠1=∠2=90???． ∵ CE⊥AM，
∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°． 又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5， ∴ ∠1=∠3．
∴ ∠3=∠2=90???．
∵ 点N与点M关于直线CE对称，
∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=180??2?BAM．
3. 如图，已知?AOB?60?，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE?OB，交OB于点E，点D在?AOB内，且满足?DPA??OPE，DP?PE?6. （1）当DP?PE时，求DE的长；
（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得
ADM的值不变？并证明你的判断. ME答案：
（1）作PF⊥DE交DE于F. ∵PE⊥BO，?AOB?60，
oDP∴?OPE?30.
oOEB∴?DPA??OPE?30.
o∴?EPD?120.
oA∵DP?PE,DP?PE?6, ∴?PDE?30,PD?PE?3.
oPFD∴DF?PD?cos30??∴DE?2DF?33. 33. 2OEB（2）当M点在射线OA上且满足OM?23时，DM的值不变，始终为1.理由如下： ME当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PK?PD. ∵?DPA??OPE,?OPE??KPA, ∴?KPA??DPA. ∴?KPMKADPMN??DPM.
∵PK?PD,PM是公共边,
OLEB
∴△KPM≌△DPM. ∴MK?MD.
作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N. ∵MO?23,?MOL?60，
o∴ML?MO?sin60o?3.
∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK， ∴四边形MNEL为矩形. ∴EN?ML?3.
∵EK?PE?PK?PE?PD?6, ∴EN?NK. ∵MN⊥EK, ∴MK?ME.
DM?1. ME∴ME?MK?MD,即
当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立.
4. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两
边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G. （1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明． 答案：（1）补全的图形如图所示.