loading第八章 电磁感应习题
8-1 一半径r＝10cm的圆形回路放在B＝0.8T的均匀磁场中，回路平面与B垂
dr直，当回路半径以恒定速率=80cm/s收缩时，求回路中感应电动势的大小。
dtd?mddr2?(Bπr2)?B2πr?0.40（V） 解：?m?BS?Bπr，??dtdtdt8-2 如图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b，环心O与导线相距a。设半圆环以速度v平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UMN。
解：用直导线连接MN构成闭合导体回路，则在闭合回路沿v方向运动时，磁通量的变化d?m?0，得?MeNM?0即?MeN??MN
下面求εMN，在导线MN上距电流l处取线元dl，方
?I向由M到N，则线元dl处磁感应强度为B?0，方向
2? l垂直画面向下。
d?La?b?Ivdl?Iva?b0 方向由N到M ?MN??d?i??(v?B)?dl?????0lnLda?b2?l2?a?b?Iva?b 方向由N经e到M ?MeN??MN??0ln2?a?b?Iva?bM点电势高于N点电势，即UMN?0ln
2?a?b8-3 如图所示，有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向
dI相反的电流，且电流均以的变化率增长。若有一边长为d的正方形线圈与两
dt导线处于同一平面内，距右侧导线d。求线圈中的感应电动势。 解：选取线圈逆时针方向为绕行正方向 （1）面元所在处磁感应强度为
?I?0I?I?11?B?0??0???
2?x2?(x?d)2??xx?d?通过线圈的磁通量
?0Id2d?1?0Id41??m??dx?ln ??2??d?xx?d?2?3d?m?d4dI（2）??? 顺时针方向 ??0lndt2?3dt8-4 如图所示，长直导线通以电流I＝5 A，在其右方放一长方形线圈，两者共面，线圈长b＝0.06 m，宽a＝0.04 m，线圈以速度v＝0.03 m/s垂直于直线平移远离。求：d＝0.05 m时线圈中感应电动势的大小和方向。
解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势。
?IbvABDA产生电动势?DA?Blv?0方向向上（顺时针）
2?d?0IbvBC产生电动势?BC?Blv?方向向上（逆时针）
2?(d?a)DC回路中总感应电动势
?Ibv?0Ibv?Ibv?11??8???DA??BC?0??0????1.6?10V 方向沿顺时针
2?d2?(d?a)2??dd?a?8-5 如图所示，长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动。设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。 解：在棒AB上距O点l处沿AB方向取线元dl
L?rL?r1?AB???v?B??dl??B??ldl??BL?(L?2r)?r?r2L?2r时，?AB?0，即A点电势较高。
1UAB?BL?(L?2r)
28-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如图所示。取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系（设导线框刚进入磁场区时t＝0）。
解：如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时
d??0,??0；在磁场中时dt
d?d??0,??0；出场时?0，??0，故I?t曲线如图所示。 dtdt8-8 一无限长直导线和一正方形的线圈如图所示放置（导线与线圈接触处绝缘）。求：线圈与导线间的互感系数。
解：设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
2a?Ia?Ia?a??12??a30dr?0ln2 ∴M?12?0ln2
2πr2πI2π3
8-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路，如图。设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的
?ld?a一段自感为L=0ln。
?a解：如图所示，取面元dS?ldr
d?a?I?0I?0Ild?a1?0Il1d?ad0??(?)ldr?(?)dr?(ln?ln) 则?a2rπ2π(d?r)?a2πrr?d2πad?a?Ild?a?0lnπa
d?a
Iπa8-10 半径为R＝2.0 cm的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零，如图，若通电电流均匀变化，使得磁感强度B随时间
dB的变化率为常量，且为正值，试求：（1）管内外由磁场变化激发的感生电场
dtdB分布；（2）如?0.010T?s?1，求距螺线管中心轴r＝5.0cm处感生电场的大
dt小和方向。 解：（1）由对称性分析可知，感生电场线是在垂直于轴线平面内，以轴线为中心
dB的一系列同心圆，方向与成左螺旋关系，同一电场线上各点Ei大小处处相同。
dt任取一电场线为闭合回路 ?Ei?dl??Eidl?Ei?2?r
L??lnLL??0lr
?0N2Ihbdr?0N2Ihb??N?m?N??B?dS??lnS2??r2?aa??0N2hb L??lnI2?a12?0N2I2hbln （2）Wm?LI Wm?24πa8-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I。求导线内部单位长度上所储存的磁能。
?0IrB2?0I2r2解：在r 23RR?Irdr?0I20 W??wm2?rdr???004πR416π8-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2（R1 dU=k时（k为常数）电常数为ε的电介质。当两极板间的电压随时间的变化为，dt求介质内距圆柱轴线为r处的位移电流密度。 2（2）Ei?dB?2?10???222??l2??lUq?CU?RR解：圆柱形电容器电容 ln2 ln2 R1R1?D?kq2??lU?Uj??D???RR?tS2?rlnR2 rln2 ∴ rln2 R1R1R1dU8-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id=C。式中C为电容器的电 dt容，U是电容器两极板的电势差。如果不是平板电容器，以上关系还适用吗？ CU ∴ ?D?DS?CU 解：∵ q?CU D??0?Sd?DdUID??C dtdtdU不是平板电容器时D??0仍成立。∴ ID?C还适用。 dt8-15 半径为R＝0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中。今对电容 dE器匀速充电，使两极板间电场的变化率为s)。求两极板间的=1.0?1013V/(m· dt位移电流，并计算电容器内离两圆板中心联线r（r ?D?E??0 ID?jDS?jD?R2?2.8A 解：（1） jD??t?t????（2）∵ ?H?dl??I0??jD?dS C?lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则 ??rdEdE2rdEH2?r?jD?r2??0?r ∴ H??0 Br??0H?00 dt2dt2dt??RdE?5.6?10?6 T 当r?R时，BR?002dt8-16 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H。试求：它们之间的互感。 解：顺串时L?L1?L2?2M，反串联时L??L1?L2?2M L?L??0.15H ∴ L?L??4M M?48-17 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为μ1和μ2，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感。（设管的截面很小） NN解：因B??nI，所以B1??1I，B2??2I llN2N2IS1??2IS2 则???1??2?NB1S1?NB2S2??1ll?N2得L????1S1??2S2? Il