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e（e－2）
所以x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝，
e－1e（e－2）
所以a≤，
e－1
e（e－2）??所以实数a的取值范围是?－∞，?. e－1??考点三 判断零点的个数
【典例3】 (2019·湖北合肥一中质检)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式；
f（x）
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数.
x
【解析】 (1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
x2－2x－33
(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，
xx
34（x－1）（x－3）
∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋2－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
xxx2当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：
x g′(x) g(x) (0，1) ＋ 1 0 极大值 (1，3) － 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ 当0 3 当x>3时，g(e5)＝e5－5－20－2>25－1－22＝9>0. e又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增， 因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g(x)仅有1个零点. 【方法技巧】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. mx 【变式3】 (2019·山西平遥中学模拟)设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． x3x1mx 【解析】由题设，g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)， 3xx31 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)． 31 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)， 3 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点． 2 所以φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3 由φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)， 2 可知①当m＞时，函数g(x)无零点； 32 ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； 32 ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； 3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 2 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 3 2 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 32 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点． 3考点四 由函数零点个数求参数 【典例4】 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a. 【解析】(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)ex－1≤0. 设函数g(x)＝(x2＋1)ex－1， 则g′(x)＝－(x2－2x＋1)ex＝－(x－1)2ex. 当x≠1时，g′(x)＜0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1. (2)设函数h(x)＝1－ax2ex. f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． (ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点； (ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)ex. 当x∈(0,2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 4a 故h(2)＝1－2是h(x)在(0，＋∞)上的最小值． e e2 ①当h(2)＞0，即a＜时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点． 4e2 ②当h(2)＝0，即a＝时，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． 4 e2 ③当h(2)＜0，即a＞时，因为h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点． 4由(1)知，当x＞0时，e x － －－ － － － ＞x2，所以 16a316a316a31 h(4a)＝1－4a＝1－2a2＞1－＝1－＞0，故h(x)在(2,4a) ee2a4a 上有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)上有两个零点． e2 综上，当f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝. 4 【方法技巧】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． 【变式4】 (2019·河北衡水第一中学调研)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0). (1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围. 【解析】(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R， 又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1， 所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1. 易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增， 所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f′(x)＝ex＋a，由于ex>0， ①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数， 当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0； 1当x<0时，取x＝－， a11 －?<1＋a?－－1?＝－a<0. 则f??a??a?所以函数f(x)存在零点，不满足题意. ②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a). 在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减， 在(ln (－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值. 函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln( －a) ＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2 综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2，0). 考点五 函数零点的综合问题 【典例4】【2019年高考江苏】设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c),a,b,c?R、f'(x)为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{?3,1,3}中，求f（x）的极小值； （3）若a?0,0?b1,c?1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤【答案】（1）a?2；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）因为a?b?c，所以f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)． 因为f(4)?8，所以(4?a)?8，解得a?2． 334． 27 （2）因为b?c， 所以f(x)?(x?a)(x?b)?x?(a?2b)x?b(2a?b)x?ab， 从而f'(x)?3(x?b)?x?因为a,b,2322??2a?b?2a?b．令，得或． f'(x)?0x?bx??3?32a?b都在集合{?3,1,3}中，且a?b， 32a?b所以?1,a?3,b??3． 3此时f(x)?(x?3)(x?3)，f'(x)?3(x?3)(x?1)． 令f'(x)?0，得x??3或x?1．列表如下： 2x f'(x) f(x) (??,?3) + ?3 0 极大值 2(?3,1) – 1 0 极小值 (1,??) + 所以f(x)的极小值为f(1)?(1?3)(1?3)??32． （3）因为a?0,c?1，所以f(x)?x(x?b)(x?1)?x?(b?1)x?bx， 32f'(x)?3x2?2(b?1)x?b． 因为0?b?1，所以??4(b?1)?12b?(2b?1)?3?0， 则f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2?x1?x2?． 22b?1?b2?b?1b?1?b2?b?1,x2?由f'(x)?0，得x1?． 33列表如下： x f'(x) f(x) (??,x1) + x1 0 极大值 ?x1,x2? – x2 0 极小值 (x2,??) + 所以f(x)的极大值M?f?x1?． 解法一： 3M?f?x1??x1?(b?1)x12?bx1