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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x??1即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
2试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于
315 ，） 42a??1点C（0，3），其对称轴l为x??1，∴，解得：{b??2，∴二次函数的
b???1c?32a{c?3解析式为y??x?2x?3=?(x?1)?4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
2（2）令y??x?2x?3?0，解得x??3或x?1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作
22a?b?c?0PD⊥x轴于点D，∵点P在y??x2?2x?3上，∴设点P（x，?x2?2x?3）， ①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即y??x2?2x?3?2，解得x=2?1（舍去）或x=?2?1，∴点P（?2?1，2）；
②设P(x，y)，则y??x2?2x?3，∵S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC
111111OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=?3?1+?(3?x)y?(y?3)(?x)=
222222333?x?y 222333329332752=?x?(?x?2x?3)=?x?x?6=?(x?)?， 22222228337515∴当x=?时，S四边形ABCP最大值=，当x=?时，y??x2?2x?3=，此时P
4822315（?，）．
42=
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
2．某建材销售公司在2019年第一季度销售A,B两种品牌的建材共126件，A种品牌的建材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调a%，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨a%；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了减少了的值.
【答案】（1）至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30. 【解析】 【分析】
（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A品牌的建材x件.
1a%，B种品牌的建材的销售量222a%，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加a%，求a323根据题意，得6000x?9000?126?x??966000， 解这个不等式，得x?56， 答：至多销售A品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材70件， 根据题意，得
2?1??2???6000?1?a%??56?1?a%??9000?1?a%??70?1?a%???6000?56?9000?70??1?a%??2??3??23?，
2令a%?y，整理这个方程，得10y?3y?0，
解这个方程，得y1?0,y2?3， 10∴a1?0（舍去），a2?30， 即a的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 【答案】（1）x1??3,x2?4（2）a≤（3）-4 【解析】
分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；
（2）∵方程有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得
54：a?5； 4 （3）∵x1，x2是方程的两个实数根，
2x12?x1?a?1?0，x22?x2?a?1?0，?x1?x12?a?1，x2?x2?a?1．
22???2?x?x2?x?x ∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴?1122?????9，把
2x1?x12?a?1，x2?x2?a?1 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：
a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4．