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3．1 回归分析的基本思想及其初步应用
考点 线性回归方程 学习目标 会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，会用最小二乘法求线性回归方程 会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果 能记住建立回归模型的方法和步骤，能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型 核心素养 直观想象、数学运算、 数据分析 数学运算、数据分析、 数学建模 数学建模、数据分析 线性回归分析 非线性回归分析
问题导学
预习教材P80～P89的内容，并思考下列问题： 1．什么是回归分析？ 2．什么是线性回归模型？ 3．求线性回归方程的步骤是什么？
4．如何进行线性回归分析和非线性回归分析？
1．回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．
2．线性回归模型
——
∑ （x－x）（y－y）^—^—ii^^^^i＝1—
(1)在线性回归直线方程y＝a＋bx中，b＝，a＝y－bx，其中xn—2
∑ （xi－x）i＝1
n
—1n——1n
＝i∑x，y＝∑y，(x，y)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心． n＝1ini＝1i(2)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
3．刻画回归效果的方式 方式方法 计算公式 ^2∑ （y－yi）ii＝1nn刻画效果 R2 R2＝1－—2∑ （y－y）ii＝1 R2越接近于1，表示回归的效果越好 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说残差图 ^ei称为相应于点(xi，yi)的残差， 明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域^^ei＝yi－yi ^2∑ (y－yi) ii＝1n的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高 残差 平方和 ■名师点拨 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 (1)对回归分析的理解
回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法． 按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析． (2)随机误差与残差
随机误差是在建模的时候引入，用来解释由于数据本身具有测量误差而导致的最终结果与实际数值的偏差．而残差是回归分析得到的估计值与实际值的偏差．
判断正误(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．( )
(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( ) (3)利用线性回归方程求出的值是准确值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
对于自变量x和因变量y，当x取值一
定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做( )
A．函数关系 C．相关关系
B．线性关系 D．回归关系
解析：选C．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系．
^
已知回归方程y＝2x＋1，而试验得到一
组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是( )
A．0.01 C．0.03
B．0.02 D．0.04
^^
解析：选C．因为残差ei＝yi－yi，所以残差平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.
如图是一组数据(x，y)的散点图，经最
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小二乘法计算，y与x之间的线性回归方程为y＝bx＋1，则b＝________．