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概率论与数理统计
第1章 随机事件及其概率
随机事件与概率是概率论的两个最基本的概念.而计算各种事件概率的基本前提是：了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算.
本章内容均是概率论的基础知识. 计算概率的基本方法有：运用事件之间的关系及其运算计算概率，古典型概率和几何型概率的求法；运用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及事件的独立性计算概率.
本章的基本问题: (1) 随机事件;；(2) 随机事件概率的求法.
1.1随机事件
这一部分的主要内容是: 利用集合形式写出事件, 讨论随机事件之间的关系与运算. 一、 用集合形式写出事件
利用集合形式写出事件的关键是对样本空间、事件的积、事件的和、事件的差、互斥事件及对立事件等定义能准确理解并切实掌握.
1. 某灯泡厂取样检查出厂灯泡的寿命，设A 表示“灯泡寿命大于1500小时”，B表示“灯泡寿命在1000到2000小时之间”.请用集合形式写出下列事件：S,A,B,AUB,AB, A?B,B?A
解. S?[0,??)，A?{x|x?1500}?(1500,??)，
B?{x|1000?x?2000}?[1000,2000]，AUB?[1000,??)，
AB?(1500,2000]，A?B?(2000,??)，B?A?[1000,1500].
2. 设一批零件，有正品也有次品，从这批零件中任意抽取7件.设A表示事件“抽到的次品数不多于3”，B表示事件“抽到的次品数为奇数”.试问：事件A?B、AB、A?B、B各表示什么意思？
解. A表示抽到的次品数为0，1，2，3，即A?{0,1,2,3}，B表示抽到的次品数为1，
3，5，7，即B?{1,3,5,7}，则A?B?{0,1,2,3,5,7}，AB?{1,3}，A?B?{0,2}，
B?{0,2,4,6}，所以A?B表示抽到的次品数为0，1，2，3，5，或7；AB表示抽到的次
品数为1或3；A?B表示抽到的次品数为0或2；B表示抽到的次品数为0，2，4或6. 二、讨论事件之间的关系及运算
通过事件间的关系与运算，可以将一个事件表示成与它等价的几种不同形式，以便在今后计算概率时可以根据已知条件的不同而取其合适的一种表达式，在事件间的关系与运算中，最常用的有关结论是：（1）A?ABUAB,AB与AB互不相容；（2）AUB?AB；
1
AB?AUB；（3）当A与B互不相容时，A?B?A；AB??，(AUB)?B?A；（4）
当A?B时，AUB?A；AB?B，(A?B)UB?A.
3. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ ）. (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲、乙两种产品均畅销” (C)“甲种产品滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解. 设事件B表示“甲种产品畅销”，C表示“乙种产品滞销”.则A?BC，
A?BC?BUC?“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，应选择(D).
4. 甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，设Ai表示“第i人击中靶子”，i?1,2,3.试用事件的运算关系表示下列事件：（1）仅有乙未击中靶；（2）甲、乙至少一人击中，而丙未击中靶子；（3）至少两人击中靶；（4）靶上仅中一弹.
解. （1）仅有乙未击中靶：A1A2A3；
（2）甲、乙至少一人击中而丙未击中靶子：(A1UA2)A3； （3）至少两人击中靶：A1A2U1A2A3UA1A3； （4）靶上仅中一弹：A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3. 5. 证明A?(B?C)?(A?B)?(A?C).
证：先证A?(B?C)?(A?B)?(A?C).
设x是A?(B?C)的一个基本事件，即x?A?(B?C)，从而x?A或x?B?C， 当x?A时，必有x?A?B且x?A?C，从而必有x?(A?B)?(A?C)； 当x?B?C时，必有x?B且x?C，从而必有x?A?B且x?A?C，所以有
x?(A?B)?(A?C)，
综上所述，A?(B?C)?(A?B)?(A?C)成立. 下证(A?B)?(A?C)?A?(B?C).
设x是(A?B)?(A?C)的一个基本事件，即x?(A?B)?(A?C)，则有x?A?B
C时有x?A或x?C，且x?A?C;当x?A?B时，有x?A或x?B；当x?A?因此x有下列几种情形：
2
（1）x?A，此时必有x?A?(B?C)；
（2）x?A且x?C，即x?A?C，此时亦有x?A?(B?C)； （3）x?B且x?A，即x?A?B，此时有x?A?(B?C)； （4）x?B且x?C，即x?B?C，此时有x?A?(B?C)，
所以不论哪种情形，均满足x?A?(B?C)，故(A?B)?(A?C)?A?(B?C)，由事件相等的定义可知A?(B?C)?(A?B)?(A?C)．
1.2 随机事件概率的求法
对于一个事件，除必然事件和不可能事件外，它在一次试验中可能发生，也可能不发生.人们常常需要知道某些事件在一次试验中发生的可能性大小，即通过求出事件的概率，揭示出这些事件内在的统计规律性，以便能更好地认识客观事物.
这部分主要内容是：讨论在各种情况下，随机事件概率的求法. 一、古典型概率与几何型概率的计算
直接计算一个随机事件的概率只有在特定的简单试验模型中才可以进行，古典型概率与几何型概率都是在特定的古典试验概型（有限等可能）与几何试验概型（无限等可能）中，应用概率的古典定义与几何定义直接计算事件的概率.应该指出的是：
（1）在古典型概率的计算中，正确计算出所求概率P(A)的事件A中所含的样本点数 目（或A中所包含的基本事件个数）是解此类题的关键，也是解题难点所在.如果能够从分析事件A发生的结构出发，弄清导致A发生的每个环节，将有助于正确计算A中所含样本点数，避免漏算或重复计算的错误.在计算过程中经常会用到排列组合的有关知识，有时也需要列举法逐一分析有利用A的样本点数.
（2）在几何型概率的计算中，关键的问题是如何计算出有利于事件A的度量（长度、 面积、体积等），关于这一点，根据题设条件画出正确图形，并熟悉一些简单几何图形容积（面积、体积等）的计算将有助于解题.
1. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.
（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率. 解. 设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”，而10人中任选3人共有C10?120种选法，此即为样本点的总数.
（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5. 它们可从
3C5216~10这5个数中选取.故P(A)?3?.
C10122C41（2）同理可得P(B)?3?.
20C10 3
2. 将10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书靠在一起的概率. 解. 将10本书的每一种排列看作基本事件，则基本事件的总数为10!.
设A表示指定的3本书靠在一起的事件，如果将3本书看作一本书与剩余的7本书进行排列，则有8!种，而3本书靠在一起的排法有3!种，故事件A中所包含的基本事件个数为8!?3!.所以
P(A)?8!3!1. ??0.06710!151的概率. 43. 在(0,1)区间内任取两个随机数x,y，求两数之积小于
解. 显然(x,y)为一个样本点，从而样本空间 S?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
又设A为所求事件，则易知 A?{(x,y)|xy?} 如图所示阴影部分所示，所求概率为阴影部分的面积与S的面积之比，故 141 4111?1dx1114?44x??lnx|11?(1?ln4)?0.5966 P(A)?144444. 将一根长为l的棍子任意地折成3段，求此3段能构成一个三角形的概率.
解. 设三段分别长为x,y,z，由题意x?y?z?l，只要确定了x和y，z即可确定，故只须考虑x和y，显然要将棍子能分成三段，必有x?y?l，其中0?x?l,0?y?l，这就是x,y的取值范围，所以G:x?y?l,0?x?l,0?y?l．
此外，x,y,z要构成一个三角形，必满足x?y?z?l?x?y及x?y?z?l?x?y，
y?x?z?l?x?y，整理得
x?y?因此
lll,x?,y? 222lll,x?,y? 222g:x?y?所以构成三角形的概率
4