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第1章 內容摘要
1. 隨機變數的期望值
若隨機變數 X 的機率分布表如下：
X pX x1 p1 nx2 p2 … … xk pk … … xn pn 則稱隨機變數 X 的期望值為
E（X）＝?xkpk?x?1p1?x?2p2?L?x?npn。
k?1
2. 一組數據的變異數與標準差
若一組數據 x1，x2，…，xn 的平均數為 μ，則這組數據的 (1) 變異數為
σ
2＝
11（（x1－μ）2＋（x2－μ）2＋…＋（xn－μ）2）＝nn??xk?1nk???。
21n2。 (2) 標準差為 σ＝x?????knk?1
3. 隨機變數的變異數與標準差
若隨機變數 X 的機率分布表如下：
X pX 則隨機變數 X 的
2(1) 變異數為 Var（X）＝??xk?E?X???pk?E?X???E?X??。
22k?1nx1 p1 x2 p2 … … xk pk … … xn pn (2) 標準差為
Var?X?。
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4. 伸縮平移後，期望值、變異數與標準差的關係
設 X 為一隨機變數﹐a﹐b 為兩常數﹐a≠0﹐則： (1) E?aX?b?＝aE?X??b。
(2) Var?aX?b?＝a2Var?X?。 (3) Var?aX?b?＝aVar?X?
5. 三事件為獨立事件
當三事件 A，B，C 同時滿足下列四項條件： (1) P（A∩B）＝P（A）P（B），
(2) P（B∩C）＝P（B）P（C）， (3) P（A∩C）＝P（A）P（C），
(4) P（A∩B∩C）＝P（A）P（B）P（C）。 稱 A，B，C 三事件為獨立事件。
6. 獨立重複白努利試驗的機率
設一白努利試驗成功的機率為 p，則獨立重複白努利試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機
率為 Cknpk?1?p?n?k。
7. 二項分布
設白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q＝1－p，其中 p ≥ 0，q ≥ 0。令隨機變數 X 的取值表示此試驗獨立重複試驗 n 次中成功的次數，則隨機變數 X 的機率質量函數為
P（X＝k）＝Cknpkqn?k，k＝0，1，…，n。
此隨機變數 X 的機率分布稱為二項分布，記為 B（n，p）。
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8. 二項分布的期望值、變異數、標準差
設隨機變數 X 的機率分布為二項分布 B（n，p），則隨機變數 X 的
(1) 期望值為 E（X）＝np。
(2) 變異數為 Var（X）＝npq。（其中 q＝1－p） (3) 標準差為
Var?X?＝npq。（其中 q＝1－p）
9. 簡單隨機抽樣
從元素個數為 N 的母體中選取 n 個作為樣本，若在抽樣的過程中每種組合被選取的機會相等，則稱這種抽樣方法為簡單隨機抽樣。
10. 常態分布 68－95－99.7 法則
任何平均數為 μ、標準差為 σ 的常態分布曲線中，
(1) 約有 68 %的資料介於區間 [ μ－σ，μ＋σ ] 內，如圖(a)。 (2) 約有 95 %的資料介於區間 [ μ－2σ，μ＋2σ ] 內，如圖(b)。 (3) 約有 99.7 %的資料介於區間 [ μ－3σ，μ＋3σ ] 內，如圖(c)。
圖(a)
圖(b) 圖(c)
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11. 95 %信賴區間與信心水準
我們的研究對象是母體的某一特徵，假設 p 表示母體中具有此一特徵所占的比例。今從
? 表示樣本中具有此一特徵所占的比例，母體中隨機選取 n 個為樣本（n 夠大），若 p則：
???1?p????1?p???pp??2??2? 稱為 p 的一個 ,p(1) 區間 ?pnn????「95 %的信賴區間」，或「在 95 %信心水準下的信賴區間」。 (2) 2p??1?p??n 稱為此信賴區間的「抽樣誤差」。