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一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|. （2）如果|x+1|=3，那么x=________；
（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.
（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________. 【答案】 （1）3；5 （2）2或-4 （3）8 （4）6
【解析】【解答】解：
数轴上表示4和1的两点之间的距离是：
故答案为：
；表示
和 两点之间的距离是：
或 或 故答案为： 或
或
当
（3）
或
时，则
两点间的最大距离是 ，
当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6， 当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4， 当 则
时，则
两点间的最小距离是 ，
两点间的最大距离是 ，最小距离是
（4） 数轴上表示a的点位于-4与2之间，则
故答案为：
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；
（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；
（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab之间的距离，再比大小即可；
（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.
故答案为：
2．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.
（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止运动.设运动时间为t秒.
①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数. ②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值. 【答案】 （1）9；-3+2t
（2）解：①根据题意，得：（1+2）t=12， 解得：t=4， ∴-3+2t=-3+2×4=5，
答：当t=4时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5； ②P与Q重合前：
当2AP=PQ时，有2t+4t+t=12，解得t= ； 当AP=2PQ时，有2t+t+t=12，解得t=3； P与Q重合后：
当AP=2PQ时，有2（8-t）=2（t-4），解得t=6； 当2AP=PQ时，有4（8-t）=t-4，解得t= ；
综上所述，当t= 秒或3秒或6秒或 秒时，点P是线段AQ的三等分点
【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是-3+12=9，点P表示的数是-3+2t， 故答案为：9，-3+2t；
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值可求得点B所表示的数；根据路程=速度×时间可得点P运动的距离，再根据平移的点的坐标的性质可得点P表示的数；
（2）①由题意可列方程求解；②分两种情况讨论求解： P与Q重合前：
当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解； 当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解； P与Q重合后：
当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解； 当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解。
3．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以
1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC=________cm，BC=________cm；
（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP=PQ？ 【答案】 （1）9；3 （2）3；
（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况： ①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ； ②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中， 可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；
③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前， 可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7． 故当t为 秒、 秒或7秒时，AP=PQ． 【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC ∴AC= AB=9，BC=12-9=3．
故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t， 由题意，点P与点Q第一次重合于点B， 则有4t-t=9，解得t=3； 当点P与点Q第二次重合时有： 4t+t=12+3+24，解得t= ．
故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合． 故答案为：3； ．
【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则
2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．
4．若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|＝0.
（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴正方向运动经过t秒后，试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由.
【答案】 （1）解：∵a，b，c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|=0，∴a=﹣5，b=2，c=3. 设点P对应的数为x.
当x＜﹣5时，﹣5﹣x+2﹣x=3﹣x，解得：x=﹣6； 当﹣5≤x＜2时，x﹣（﹣5）+2﹣x=3﹣x，解得：x=﹣4； 当2≤x＜3时，x﹣（﹣5）+x﹣2=3﹣x，解得：x=0（舍去）； 当x≥3时，x﹣（﹣5）+x﹣2=x﹣3，解得：x=﹣6（舍去）.
综上所述：在数轴上存在点P，使得PA+PB=PC，点P对应的数为﹣6或﹣4.
（2）解：AB﹣BC的值不变，理由如下：
当运动时间为t秒时，点A对应的数为t﹣5，点B对应的数为3t+2，点C对应的数为5t+3，∴AB﹣BC=3t+2﹣（t﹣5）﹣[5t+3﹣（3t+2）]=6. ∴AB﹣BC的值不变.
【解析】【分析】由绝对值的非负性可求出a，b，c的值.（1）设点P对应的数为x，分x＜﹣5，﹣5≤x＜2，2≤x＜3及x≥3四种情况考虑，由PA+PB=PC利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）找出当运动时间为t秒时点A，B，C对应的数，进而可求出AB﹣BC=6，此题得解.
5．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒
（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由.
【答案】 （1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB， 故2PB+PB＝AB， 代数可得PB＝8，
故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20； 当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB， 所以2PB﹣PB＝AB，
故PB＝AB＝24，
故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.
（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1 ， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10； 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2 ， 3t2﹣(t2+AB)＝4， 故3t2﹣(t2+24)＝4， 则t2＝14；
第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3 ， 3t3+t3+4+AB＝2AC， 故3t3+t3+4+24＝2×48， 则t3＝17；
第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4 ， 3t4+t4+AB＝2AC+4， 故3t4+t4+24＝2×48+4， 则t4＝19.
【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间 2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.
6．对于有理数，定义一种新运算“
（1）计算： （2）若
，则
. ________， ________
________. (填入“
”或“
”).
，求
”，观察下列各式： ，
，
（3）若有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示且
的值.
【答案】 （1）19；（2）
，
，则
，
，
（3）解：由数轴可得，