loading重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A卷）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
b4ac?b2b参考公式：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(?,)，对称轴公式为x=?.
2a4a2a2
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列各数中，比-1小的数是（ ） A、2； B、1； C、0； D、-2. 提示：根据数的大小比较.答案D.
2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ） ABCD从正面看提示：根据主视图的意义.答案A.
3．如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是（ ）
A
OD BA、2； B、3； CC、4； D、5.
提示：根据相似三角形的性质.答案C.
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C=50°，则∠AOD的度数为（ ）
C D
BAO
A、40°； B、50°； C、80°； D、100°.
提示：根据圆的切线性质及圆周角和圆心角的关系性质.答案C. 5．下列命题正确的是（ ）
A、有一个角是直角的平行四边形是矩形； B、四条边相等的四边形是矩形； C、有一组邻边相等的平行四边形是矩形； D、对角线相等的四边形是矩形. 提示：根据矩形的判定.答案A.
1的值应在（ ） 3A、4和5之间； B、5和6之间； C、6和7之间； D、7和8之间.
6．估计(23?62)?提示：化简得2?26.答案C. 7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其
1??x?y?50??x?2A、?；B、?2?x?y?50?x??3?2的钱给乙．则乙的钱数也为50，3问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
1?1?1y?50x?y?50?2?2x?y?502；C、?；D、?. 222?x?y?50?x?y?50y?5033?3?提示：根据列二元一次方程组的思路.答案A.
8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A、m=1，n=1； B、m=1，n=0； C、m=1，n=2； D、m=2，n=1.
是输入m,nm≤ny=2n-1否y=2m+1输出y值
提示：用试验法.答案D.
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥
k(k?0,x?0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A(2,0)，D(0,4)，xy则k的值为（ ） Cx轴，反比例函数y?
DE
A、16； B、20； C、32；40. O D、ABx提示：易得△DAB∽△AOD，AD=25，则AB=45，所以DB=10，E(4,5).答案B.
10.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）（参考数据：sin48°≈0.73，cos8°≈0.67，tan48°≈1.11）
D
BC
A、17.0米； B、C、23.3米； D、33.3米. E21.9A米； 提示：延长DC交直线AE于F.在直角三角形ACF中，易求得CF=10,AF=24，则EF=30. 所以DF=30×1.11=33.3.答案C.
11?x?(4a?2)??42的解集是x≤a，且关于y的分式方程11.若关于x的一元一次不等式组?3x?1??x?22?2y?ay?4??1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） y?11?yA、0； B、1； C、4； D、6.
提示：由不等式组的条件得：a<5.由分式方程的条件得：a≥-3的奇数且a≠-1.综上所述：整数a为-3，1，3.答案B.
//
12．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC，////
DC与AB交于点E，连结AC，若AD=AC=2，BD=3则点D到BC的距离为（ ） A、
33321； B、； 27BC/E/
/
C、7； D、13.
//
提示：过D作DF⊥BC于F，连接CC交BD于G.
///
易得BD⊥CC，AC=AD=CD=CD=2，
/
/
/
D，BC=C7.在△BCD中利ABG=BD-DG=2则∠ADC=60°，∠DCG=30°，所以DG=1，CG=3，
用面积可求出DF.答案B.
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13.计算：(??3)0?()?1= . 提示：根据零指数幂、负整数指数幂.答案3.
14. 今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为 ．
7
提示：根据科学记数法的意义.答案2.56×10.
15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ．
提示：所有结果有36种，符合条件的有9种.答案
1. 41216．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结
AD果保留π）
O
CB提示：菱形面积减去三分之二圆面积.答案23?2?. 317．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米．
y/米 4000
提示：由图知甲的速度为4000÷米/分O(12-2-2)=500x/分.乙的速度为4000÷(2+2)=1000米/分. 12则乙回到公司时，用了4分钟，而此时甲前行了500×4=2000米.答案6000米.
18．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的总面积的
9种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植1619．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母40的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．
提示：设已种植的川香面积为4x，贝母面积为3x，黄连面积5x.余下面积为y，其中种植
9y.由题意得： 169199974x?a35x?y?(12x?y)，解得y=8x，则y=x，所以a?b?x，又?.
164016223x?b41解得a=x，b=3x.所以该村还需种植贝母面积3x，该村种植这三种中药材的总面积为
2川香面积为a，贝母面积为b，黄连面积为
4x+3x+5x+8x=20x.答案3︰20.
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19.计算：
2
（1）(x+y)-y(2x+y)
222
解：原式=x+2xy+y-2xy-y ……（3分）
=x ……（5分）
9?4aa2?9)?（2）(a? a?2a?2a2?2a9?4a(a?3)(a?3)?)?解：原式=( a?2a?2a?2(a?3)2a?2 = ……（9分） ?a?2(a?3)(a?3)2
=
a?3 ……（10分） a?320．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
A（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数．
FE（2）求证：FB=FE．
解与证：（1）∵AB=AC，D是BC边上的中点.
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD. ……（3分）
BDC∴∠CAD=90°-∠C=90°-36°=54°……（5分） （2）∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC ∵EF∥BC，∴∠BEF=∠EBC. ∴∠EBF=∠BEF. ……（9分） ∴FB=FE.
21．每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x<85，B．85≤x<90，C．90≤x<95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94 八年级抽取的学生竞赛成绩七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 扇形统计图 年级八年级七年级10% B9292平均数CA 20%中位数b93
众数100cD
50.4方差52a%根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≧90）的学生人数是多少？ 解：（1）a=40，b=94，c=99. ……（3分）
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下（写出其中一条即可）：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99. ……（6分）
（3）∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人. ∴
13?720=468（人） 20答：估计此次竞赛中，七、八年级成绩优秀的学生有468人. ……（10分） 22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数． 解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”.理由如下：……（2分） ∵在计算2019+2020+2021时，个位9+0+1=10，产生了进位， ∴2019不是“纯数”.
∵在计算2020+2021+2022时，个位0+1+2=3，十位2+2++2=6，百位0+0+0=0，千位2+2++2=6，它们都没有产生进位，
∴2020是“纯数”. ……（4分）
（2）由题意，当“纯数”n为一位数时n+(n+1)+(n+2)=3n+3<10 ∴n=0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个.
当“纯数”n为两位数时，个位不超过2，十位不超过3时，符合“纯数”的定义.
∴两位数的自然数中“纯数”有：10，11，12，20，21，22，30，31，32，33共9个， 而100显然也是“纯数”.
∴不大于100的“纯数”的个数共有：3+9+1=13个. ……（10分）
23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义a???a(a?0)．
?a(a?0)?结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y=|kx-3|+b中，当x=2时，y=
-4当x=0时，y= -1.
y（1）求这个函数的表达式；
6（2）在给出的平面直角坐标系中， 5请用你喜欢的方法面出这个函数的 4图象并写出这个函数的一条性质； 3（3）已知函y?1x?3的图象如图 21x?3的 221O-8-7-6-5-4-3-2-1-112345678x-2-3-4-5-6所示，结合你所画的函数图象，直 接写出不等式kx?3?b?解集． 解：（1）将x=2时，y= -4和x=0时，y= -1. 分别代入y=|kx-3|+b中，得 13???k??2k?3?b??4解得：??2 ?3?b??1????b??4y=x-32y65432∴这个函数的表达式是
3y?x?3?4 ……（3分） 1O2-8-7-6-5-4-3-2-1-112345678x（2）函数图象如答图……（5分） -2函数的性质（写出其中一条即可）： -3①当x<2时，y随x的增大而减小； -4-5-6答图3y=|x-3|-421y=x-32当x>2时，y随x的增大而增大. ②当x=2时，函数有最小值，最小 值是-4. ……（7分）
（3）不等式的解集是1≤x≤4……（10分）
24．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物
3a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户101数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份
45总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
18管费将会减少
解：（1）设该小区共有x套80平方米的住宅，则有2x套50平方米的住宅.由题意得： 2×80x+2×50×2x=90000.解得x=250.
答：该小区共有250套80平方米的住宅. ……（4分）
（2）6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是： 500×40%(1+2a%)×50×2×
33a%=20000(1+2a%)×a%（元）， 101014146月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是： 250×20%(1+6a%)×80×2×a%=8000(1+6a%)×a%（元）， 6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是： [500×40%(1+2a%)×50×2+250×20%(1+6a%)×80×2]×即[20000(1+2a%)+8000(1+6a%)]×由题意得： 20000(1+2a%)×
315a%+8000(1+6a%)×a%=[20000(1+2a%)+8000(1+6a%)]×a%. 104185a%（元） 185a%（元） 18……（8分）
2
设a%=m，化简整理得：2m-m=0，解得：m1=0（舍），m2=0.5. 所以a=50.
答：a的值是50. ……（10分）
25．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP． （1）若DP=2AP=4，CP=17，CD=5，求△ACD的面积． （2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD=2CM+2CE． AP
H N
BFECDM
解与证：（1）作CQ⊥AD，垂足为Q，如图 ∵DP=2AP=4，∴AP=2，AD=6.
设PQ=x，则DQ=4-x，又CP=17，CD=5 在直角三角形CDQ和直角三角形CPQ中， 根据勾股定理得：
(17)2?x2?52?(4?x)2
APQD解得x=1，所以PQ=1 所以CQ=CP2?PQ2=4 ∴S△ACD=AD?CQ
=?6?4=12. ……（4分）
1212BNHMEPCDFA（2）∵BH⊥AE，AF⊥BC， HN∴∠AHB=∠AFC=90°， ∠ANH=90°-∠EAF=∠AEF. ∴∠ANB=∠CEA.
BFE又BN = AE，AN=CE，∴△ANB≌△CEA. ∴∠BAN=∠ACE，AB=AC.
∵∠ACF+∠CAF=90°，∴∠BAN+∠CAF=90°，即∠BAC=90° ∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°，AF=BF=CF. ∵AN=EC，∴NF=EF.
连结EN（如图），则△NFE为等腰直角三角形，∴EF=
MC2NE，∠ENF=45°. 2∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=45°，∴∠ECM=135°. ∵∠ANE=180°-∠ENF=135°，∴∠ANE=∠ECM.
∵EM⊥AE，∴∠AEM=90°. ∴∠EAN=90°-∠AEF=∠MEC. 又AN=EC，∴△ANE≌△ECM，∴NE=CM. ……（8分） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2FC.
22NE+EC=CM+EC. 222∴AD=2FC=2(CM+EC)=2CM+2CE. ……（10分）.
2四、解答题：（本大题1个小题，共8分）
2
26．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． （1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是
1线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
3∵FC=FE+EG=
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+
12PC取得最小值时，把点P向上平移个单32/
/
位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°)，得到△AOQ，
////
其中边AQ交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q=∠QOG？若存在，
/
请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． yy
Q/AGA/HOEBxAOEBx
2
解：（1）∵点A，B是抛物线y=x-2x-3与x轴的交点，点D是抛物线顶点， ∴点A(-1,0)、点B(3,0)、点D(1,-4). ∴直线BD的表达式是y=2x-6.
22
∵点N在抛物线y=x-2x-3上，可设点N的坐标为(t,t-2t-3)，则点F的坐标为(t,2t-6).
22
∴FN=(2t-6)-(t-2t-3)= -t+4t-3. 根据已知条件，可得△MNF∽△EBD，∴∴MN=
MNEB?，又EB=2，DE=4，∴DB=25. FNDBy555FN=?. (t?2)2?555∴当t=2时，MN取得最大值，
此时，点F(2,-2)，HF=2. ……（2分）
1如答图，以CP为斜边，以CP的长为直角边， 3作Rt△CRP，当点F，P，R在一条直线上时， 11PF+CP取得最小值，此时，PF+CP=RF.
33过点F作FS⊥y轴，垂足为S.点F，P，R
CPFP?在一条直线上，△CPR∽△FPS.则=3. RPSP在Rt△SPF中，SF=2，FP=3SP.
AOEHBxSQRPCMFN123222?22?2，FP=. ∴CP=CS-PS=1?=. ∴RP=CP=. D6322222?2321?42∴RF=RP+PF=+=，∵HF=2，
62311?427?42∴HF+FP+PC的最小值为2+=.……（4分）
333/
（2）满足条件的点Q的坐标为：
∴SP=
(?2525452545452545,?)，(?,)，(,)，(,?).
55555555
提示：
/
如图，过Q作x轴的垂线，设垂足为I.
/
在直角三角形OIQ求解 (? A/GAG25454525,?) 同理(,)
5555yyQ/OEHBxAOEHBx
同理(?255,455) y Q/ G A/ AOEHBx QF CPMN D同理(255,?455) yAOEHBxA/GQQ/FCPMND