loading第1讲 导数的概念及运算
[基础题组练]
1．已知函数f(x)＝(x＋2)(ax＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝( ) A．－1 C．2
2
2
4
2
2
B．－2 D．0
2
3
解析：选B.f(x)＝(x＋2)(ax＋b)＝ax＋(2a＋b)x＋2b，f′(x)＝4ax＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0
B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
1
解析：选C.由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处
x的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
3．已知f(x)＝ax＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝( ) A．－6 C．6
3
4
B．－8 D．8
3
解析：选D.因为f′(x)＝4ax－bsin x＋7.所以f′(－x)＝4a(－x)－bsin(－x)＋7＝－4ax＋bsin x＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2 018)＝6，所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.
32
4．(2019·陕西西安名校联考)若点P是曲线y＝x－2ln x上任意一点，则点P到直
25
线y＝x－的距离的最小值为( )
2
A.2 32
2
B.33
2
3
C.D.5
32
解析：选C.点P是曲线y＝x－2ln x上任意一点，所以当曲线在点P处的切线与直线
2
y＝x－平行时，点P到直线y＝x－的距离最小，又直线y＝x－的斜率为1，所以y′＝
22?3?3x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，所以曲线与切线的切点为P?1，?，所以点P到直x3?2?
525252
1
532
线y＝x－的距离的最小值是2＝，故选C. 2
221＋（－1）
5．(2019·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln
?1－3－5?
?22???
x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋e， 所以f′(x)＝1＋e，所以f′(1)＝1＋e＝1＋e. 答案：1＋e
6．若曲线y＝ax－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝____________． 112
解析：令f(x)＝y＝ax－ln x，则f′(x)＝2ax－，所以f′(1)＝2a－1＝0，得a＝.
x21
答案： 2
7．求下列函数的导数： (1)y＝(3x－4x)(2x＋1)； (2)y＝sin(1－2cos)；
24(3)y＝
ln x. x2＋1
2
2
2
xx1
x2
x解：(1)因为y＝(3x－4x)(2x＋1) ＝6x＋3x－8x－4x＝6x－5x－4x， 所以y′＝18x－10x－4.
2
3
2
2
3
2
xx1
(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，
222
111
所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.
222
12
（x＋1）－2xln x（ln x）′（x＋1）－ln x（x＋1）′x(3)y′＝＝ 2222（x＋1）（x＋1）
2
2
x2＋1－2x2ln x＝.
x（x2＋1）2
8．(2019·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程． 解：(1)由y＝x＋x－2，得y′＝3x＋1. 令3x＋1＝4，解得x＝±1.
2
2
3
2
3
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)． 1
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.
4因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
1
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
4
[综合题组练]
1．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 C．3
B．0 D．4
11
解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又33
g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，
?1?所以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.
?3?
2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
2
?1?A.?－，＋∞? ?2?
C．(0，＋∞)
2
1
B．[－，＋∞)
2D．[0，＋∞)
12ax＋1
解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所
xx12
以2ax＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为
x[0，＋∞)．故选D.
3．已知函数f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
解析：因为 f′(x)＝3ax＋1， 所以f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2，
23
3
所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
因为切线过点(2，7)，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案：1
4．曲线y＝ln x的切线l：x－y＋m＝0与曲线y＝x＋a也相切，则m＋a＝________． 解析：设直线l：x－y＋m＝0与曲线y＝ln x相切于点(x0，ln x0)． 1由y＝ln x得y′＝，
2
x1
所以y′|x＝x0＝＝1.所以x0＝1.
x0
所以切点为(1，0)，则1－0＋m＝0，所以m＝－1. 因为曲线y＝x＋a也与直线x－y－1＝0相切．
??y＝x＋a由?消去y，得 ?x－y－1＝0?
2
2
x2－x＋a＋1＝0，
32
所以Δ＝(－1)－4(a＋1)＝0.所以a＝－.
47?3?所以m＋a＝(－1)＋?－?＝－. 4?4?7
答案：－
4
5．已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)．
??f（0）＝b＝0，
(1)由题意得?
?f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，?
2
3
2
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)＋12a(a＋2)>0， 即4a＋4a＋1>0， 1
所以a≠－. 2
1??1??所以a的取值范围为?－∞，－?∪?－，＋∞?. 2??2??
92
6．已知抛物线C：y＝－x＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
2
4
2
2
2