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立体几何与空间向量
02 空间几何体的表面积和体积
【考点讲解】
一、具体目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 二、知识概述： 1.体积公式：
柱体：V?S?h，圆柱体：V??r?h。
斜棱柱体积：V?S??l（其中，S?是直截面面积，l是侧棱长）； 锥体：V?2111S?h， 圆锥体：V??r2?h, 台体：V??h(S?S?S??S?) 33314?h(R2?R?r?r2) , 球体：V??r3。 333 圆台体：V?正方体的体积 V?a ；正方体的体积 V?abc. 2.侧面积：
直棱柱侧面积：S?c?h，斜棱柱侧面积：S?c??l； 正棱锥侧面积：S?11c?h?，正棱台侧面积：S?(c?c?)h?； 221c?l??rl， 2圆柱侧面积：S?c?h?2?rh，圆锥侧面积：S?圆台侧面积：S?3.几个基本公式：
1(c?c?)l??(R?r)l，球的表面积：S?4?r2。 2弧长公式：l???r（?是圆心角的弧度数，?>0）；扇形面积公式：
1S?l?r；
2 1
圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：?? 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：??球面上两点间的距离公式：l??r。
4.几何体的表面积：
r?2?； lR?r?2?； l圆柱的表面积 S?2?r(r?l) ；圆锥的表面积 S??r(r?l) ；圆台的表面积 S??(r??r?r?l?rl) 球体的表面积 S?4?R.
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
5.求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
[来源:Z.xx.k.Com]222
【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
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【真题分析】
1.【2016高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A.18?365 B.54?185 C.90 D.81 【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：
S?2?3?6?2?3?3?2?3?35?54?185，故选B．
【答案】B
2.【2018年高考全国I卷文数】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AC1与平面BB1C1C所成
的角为30?，则该长方体的体积为（ ） A．8
B．62 C．82
D．83
【解析】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，连接BC1，
根据线面角的定义可知?AC1B?30，因为AB?2，所以BC1?23，从而求得CC1?22， 所以该长方体的体积为V?2?2?22?82，故选C.【答案】C
3．【2018年高考全国I卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆
柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
? 3
A．122π B．12π C．82π
D．10π
【解析】根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S?2π【答案】B
4.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边
长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ） A．86?
B．46?C．26?
D．6?
?2?2?2π?2?22?12π，故选B.
【解析】解法一：QPA?PB?PC,△ABC为边长为2的等边三角形，?P?ABC为正三棱锥，
?PB?AC，又E，F分别为PA，AB的中点，?EF∥PB，?EF?AC，又EF?CE，
CEIAC?C,?EF?平面PAC，∴PB?平面PAC，??APB??????PA?PB?PC?2，即R??P?ABC为正方体的一部分，2R?2?2?2?6，故选D．
64466,?V??R3?π??6?，2338
1PB?x，Q△ABC212为边长为2的等边三角形，?CF?3，又?CEF?90?，?CE?3?x,AE?PA?x，
2E,F分别为PA,AB的中点，解法二：设PA?PB?PC?2x，且EF??EF∥PB，
△AEC中，由余弦定理可得cos?EAC?x2?4??3?x2?2?2?x，作PD?AC于D，
AD1x2?4?3?x21?，?， QPA?PC，\\D为AC的中点，cos?EAC??PA2x4x2x12，?PA?PB?PC?2， ?2x2?1?2，?x2?，x?22又AB=BC=AC=2，?PA,PB,PC两两垂直，
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