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第3讲 统 计
【高考考情解读】 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表，有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题．
1． 随机抽样
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表
(1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×
频率
＝频率； 组距
②各小长方形的面积之和等于1；
频率1
③小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为. 组距组距(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征 众数 样本数据 出现次数最多的数据 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐标 将数据按大小依次排列，处在最把频率分布直方图划分左右中位数 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
1
(2)方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]．
n标准差： s＝
1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋?＋?xn－x?2]. n
考点一 抽样方法
例1 (2012·山东改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随
机编号为1,2，?，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________． 答案 10
解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为
960
＝30，抽取的号码依次为32
9,39,69，?，939.落入区间[451,750]的有459,489，?，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分
N
成几个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码
n数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．
(1)(2013·江西改编)总体由编号为01,02，?，19,20的20个个体组成，利用
下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.
7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 (2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，?，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 (1)01 (2)37 20
解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.
(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n组抽取的号码为5n－3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，40
则应抽取的人数为×100＝20人．
200考点二 用样本估计总体
例2 (2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成
绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 x∶y [50,60) 1∶1 [60,70) 2∶1 [70,80) 3∶4 [80,90) 4∶5 解 (1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005. (2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，
0．04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.
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由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝
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40,20×＝25.
4
故数学成绩在[50,90)之外的人数为
100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
(1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法
①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ②平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(1)(2012·陕西改编)从甲、乙两个城市分别随机抽
取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶 图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、 x乙，中位数分别为m甲、m乙，则下列结论正确的是 ________．(填序号) ①x甲 (2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 (1)② (2)2 解析 (1)直接利用公式求解． 1345x甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝， 1616x乙＝457. 16∴x甲 乙． 1 (42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝16 又∵m甲＝20，m乙＝29，∴m甲 1 (2)x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90， 5