loading【基础练习】
1．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 异面或相交 。 2．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行. ④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假．
命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。 4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥r，b∥r?a∥b；③α∥c，β∥c?α∥β； ④α∥r，β∥r?α∥β；⑤a∥c，α∥c?a∥α；⑥a∥r，α∥r?a∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】
例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形． 求证：AB∥平面EFG．
证明 ：∵面EFGH是截面．
∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上． ∴EH 面ABC，GF 面ABD， 由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB ∴EH∥AB． ∴AB∥面EFG．
例2． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B.
分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。
简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。
法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，
D1
A1 B
C
连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.
法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行， 从而证得MN∥平面ABB1A1.
点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。 【反馈演练】
1．对于平面?和共面的直线m、n,下列命题中真命题是（3）。 （1）若m??,m?n,则n∥? （2）若m∥?,n∥?,则m∥n
（3）若m??,n∥?,则m∥n （4）若m、n与?所成的角相等，则m∥n 2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。 （1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b （2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面 （4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。
（1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M （3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N 4．“任意的a??，均有a//?”是“任意b??，均有b//?”的 充要条件 。 5.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD . 6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。
7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点， 求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ， 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA?43， 求异面直线
PA与MN所成的角的大小
略证：（1）取PD的中点H，连接AH， ?NH//DC,NH?12DC
PHDABNC?NH//AM,NH?AM?AMNH为平行四边形
M?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD
(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以?ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由MN?BC?4，
PA?43得，OM=2，ON=23
所以?ONM?300，即异面直线PA与MN成300的角
9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足， 则MP∥AB，NQ∥AB。 CD∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
MP∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
AB∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形 NQ∴MN∥PQ FE∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。
证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，
∴
AMAC?AHAB
DCM连结NH，由BF=AC，FN=AM，得
FNBF?AHAB
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。
AFHNEB第4课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】
1．“直线l垂直于平面?内的无数条直线”是“l⊥?”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。 4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD.
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO. ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
P 在?PAC中,EO是中位线,∴PA // EO 而EO?平面EDB且PA?平面EDB,
F 所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD,∴PD?DC
D ∵PD=DC,可知?PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴DE?PC. ①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
A ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而DE?平面PDC,∴BC?DE. ②
由①和②推得DE?平面PBC. 而PB?平面PBC,∴DE?PB 又EF?PB且DE?EF?E,所以PB⊥平面EFD.
例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。
（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。
证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥CE ，BD ＝
12E C B CE ＝FC ，
则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。