loading2006年 公共选修课·通识教育
数学精神与方法 第二讲 有限无限纵横谈（一）
杜乃林 副教授 （武汉大学数学与统计学院）
§2.1 从自然数谈起
对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列：
0，1，2，3，……
这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本，作为我们考察数学的起点。
如果问：自然数是什么? 这可就不那么容易回答了。事情说到根上，看起来简单的问题反而难以回答。
皮亚诺的自然数公理系统
皮亚诺（G. Peano ,1958---1932）是意大利数学家、逻辑学家。
三个基本概念：0，数，后继 五条公理： 1． 0是一个数。
2． 任何数的后继是一个数。
3． 若两个数不同，则它们的后继也不同。 4． 0不是任何数的后继。 5． 数学归纳法原理。
注：若n是一个数，则以n+1表示它的后继。
数学归纳法原理
如果每个数 n 都对应有一个命题 P(n)，又如果
（1）P(0) 真，
（2）假若 P(n) 真，则必有 P(n+1) 真， 那么对所有的数 n ，P(n) 都真。 注：数学归纳法原理是我们从有限通向无限的桥梁。
关于 0、数、后继
皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。
皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。
这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 “0” 、“数”、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理
EMAIL：hanlin066@yahoo.com.cn
所界定和描述。
问题，因为我们不能定义“0” 、“数”与“后继”，也不皮亚诺的自然数公理系统将经典数学必假定我们知道这些概念的意义，不必令它们与通“算术化”做到了最后完善的地步
常的意义相符，我们可以让它们代表任何能适应皮
从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整亚诺公理的三个概念——它们将是变项，是我们对的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小其做出某种假设而此外别无规定的概念。这种方略关系，可以证明已有的所有算术结果。当然，完并不荒谬，它提供一种推广，对于某种目的，确有成这一切还需要加上一些逻辑的概念和命题。
价值。
算术理论是分析数学的基础，是整个经典数但是，这种方略未能为算术奠定一个适当的基学的基础；这点以后会很清楚。
础。第一，它不能使我们知道是否确有适合皮亚诺看明白这一点很重要 公理的项的集合；它甚至没有略略提示任何方法，皮亚诺的三个基本概念是逻辑抽象以发现是否有这样的项的集合。第二，我们需要我化的，只有形式，没有内容，可以允许们的数能计数通常的事物，也就是要求我们的数不
多种解释。例如，如果“0”代表实数1，仅具有某种形式的性质，还应具有一种确定的意义。“数”代表实数列
试着给数1下个定义
1，0.5，0.25，…
1这个数是所有含一个元素的集合所组成的类而一个数的“后继”规定为取这个——这个类的集合共蕴一个特性（含有一个元素），数的一半，那么这些解释完全可以与皮且这一特性仅为这个类中的每个集合所具有。
亚诺的五条公理相容不悖。
这里所谓“1的定义”使我们在逻辑上处于一种这表明“0” 、“数”和“后继”为难境界——正好可用于定义一个特定数目的此不能由皮亚诺的五条公理去定义，而必数之特性恰恰不能用于定义这个数！
须单独地去了解。
启发：单独地、孤立地去定义一个特定数目是§2.2 归约到逻辑
行不通的，这在逻辑上会把事情逼到“自己定义自
弗雷格（G.Frege，1848-1925），德国人，己” 的境界，因为我们的眼界没有超出此数的本类，逻辑学家、数学家、哲学家。他开创的量词逻辑即这个数的外延所界定的对象集合的范围。 和对算术的逻辑分析对后人颇有影响。
定义数该从何处着手？
“一这个数是什么，或者，1这个符我们必须了解：每个数都有自己的特有属性；号意谓什么，对这个问题，人们通常得特有属性之所以“特有”，就在于它具有将该数本到的答案是：一个事物。此外，如果人类的集合与另类的集合区分开的作用——本类的们注意到，
任何两个集合都“具有相等的元素个数”，而本类‘一这个数是一个事物’
的和另类的集合之间则永不“具有相等的元素个这个句子不是定义，因为它一边是定冠数”。
词，另一边是不定冠词，如果人们还注判断两个集合是否“具有相等的元素个数”比定
意到，这个句子只是说1这个数属于事物，义它们的“元素个数”是什么在逻辑上要简单得多。
而没有说是哪个事物，那也许人们就不“具有相等的元素个数”
得不自己选择人们愿意称之为1的任何我们称集合甲与集合乙是“相似”的，如果集一个事物。但是，如果每个人都可以有合甲与集合乙是“具有相等的元素个数”的。
权任意理解这个名词，那么关于1的同一“相似”是在集合之间建立起来的一种关系，个句子对于不同的人就会意谓不同的东
它具有如下性质：
西；这样的句子就不会有共同的内容。” （1）每个集合都自己与自己“相似”；
一个数（自然数）是什么？ （2）若甲与乙“相似”，则乙与甲“相似”； 或许有人提出，我们不用回答这个
（3）若甲与乙“相似”，乙与丙“相似”，则甲
与丙“相似”。
正是基于这些性质，“相似”关系可用于将全体集合划分成一个个两两互不相交的集合类——若甲与乙“相似”，则甲与乙归于同一个集合类。这种集合类称作“相似类”。 数的定义——弗雷格-罗素说法
一个集合的数是所有与此集合相似的集合所构成的类，即此集合所在的“相似类”。 注：两个集合相似意指这两个集合间存在着双射。
所谓一个数目就是某一个集合的数。
并非所有集合都可用“外延”定义法去定义。全体集合可分为两大类——“可枚举集合类”和“不可枚举集合类”。这反映到数的概念上来就会将数分为有限数与无限数两类。
问题与思考
自然产生的问题：
全体集合可分为两大类，即“可枚举集合类”和“不可枚举集合类” ，同时又可分为一个个两两互不相交的“相似类” 。试问：这两种分类法相容吗？——答案是肯定的。
大分支：公理集合论、模型论、证明论与递归论。
形式逻辑的基本规律
针对项 概念a 规律 a＝a p→p ?(p∧(?p)) 排中律 a或非a (?p)→(?p) 即 p∨(?p) 注：其中符号“→”表示“蕴含” ，“?”表示“否定”，而“∧”和“∨”分
别
表
示
“
且
”
和
“
或
”
。
命题p 统一律 矛盾律 a≠非a p→(?(?p)) 即 评说“数”之弗雷格-罗素定义 注意下定义的程式：
一个集合的数（一个数）→ 数（所有数目）
↑↓ ↑↓
一个相似类←所有相似类←所有集合 因此，数的定义归约到“集合” 、“相似” 和“分类”这三个项——逻辑主义者认为这三项隶属于逻辑范畴，我们权且这样去看。
关键词：归约 关键点：数的确定性 离不开的思维观念 注意，没有集合就没有这里所谓的“数”，这里的“数”本质上就是对所有集合给出了一种分类。一个给定的“数”现在之所以是确定的——不允许有多种解释——正在于它的凭借集合构成的类（即相似类）是非空的和唯一的。
在给数下定义时，无论是前面的皮亚诺定义，还是现在的弗雷格-罗素定义，有三个特别的数“0” 、“1” 和“2”似乎必须先验的出现在定义中。事实上，这三个数是人的两种基本思维观念的集中反映：
“1与0”意味着“有与没有” ——存在观念， “1与2”意味着“相同与相异”——区分观念。 离开这两种基本的思维观念，我们的意识就退化到几近不存在的境界。因此，在给数下定义的表述中，先验地出现这三个数的影子我们只好容忍。
关键点：数的确定性 离不开的思维观念
数与集合的朴素观念
对数的理解离不开对集合和类的理解。 集合和类，按我们的朴素观念去理解，都是由确定对象所组成的群体。不过，组成集合的对象我们将视作“不必再分的”，故而称作“元素”；而组成类的对象则可以有元素，有集合，甚至还有类。这种朴素的理解，事实上，将“集合”和“类”视作了同义词。
定义一个具体的集合或类通常采用的定义方式有两种——“外延”定义法和“内涵”定义法：“外延”定义法——枚举集合的所有元素以确定集合。
“内涵”定义法——提出集合的元素应满足的一种特有属性以确定集合。
“不可枚举集合类”会不会是空类或只是一个注意“?(p∧(?p))”与“?(p →(?p))”不是逻辑等值的，后者与“p“相似类”呢？——首先完满回答这个问题的人是∧p”逻辑等值。
康托。
数学的语言
“可枚举集合类”中的所有“相似类”能是我们在康托创立集合论，弗雷格创立谓词逻辑的时代习以为常的自然数系吗？也就是问，在由“可枚（1870---1900），数学界使用的语言是混杂冗赘和模棱两可举集合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合的，这对数学的研究和教育十分不利。数学家们逐渐感受到皮亚诺公理系统的架构吗？
在数学的各个领域中采用相似的、统一的语言的需要。随着在由“不可枚举集合类”中的“相似类”组成的戴德金及其后一些人物的参与，康托的集合论和弗雷格的谓类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？若词逻辑一起以朴素的形式成为了数学界的统一语言，这就是不能，那该建立怎样的公理系统架构？
所谓的朴素集合论语言；这种语言现今已被我们广泛使用，集合是什么？相似类是什么？还有，“相似达到了离开它就做不成事的程度。
类”作为“数”而成为数学的基本对象能使数学家康托的集合“定义”
们对其性能和功效感到满意吗？
康托和戴德金都觉得有必要来“定义”集合。 逻辑主义
康托的“定义”：“把我们感觉或思维的不同对象数学与逻辑的关系至少可以上溯到数学还收集在一起”，看作一个整体，这个整体就叫做集是一门经验科学的时代，那时逻辑已经有了最初合。戴德金的定义也没有什么差别。那时“类”被视的思想萌芽，并对数学思维开始发生作用。经过作“集合”的同义词。
古希腊数学家们，特别是亚里士多德和欧几里德戴德金（Dedekind, J. W. Richard ，1831-1916），德国数的工作，数学同当时相对比较完善的形式逻辑结学家，他因提出了把每个实数都定义成是有理数集的一个所合起来，真正变成了一门演绎科学。从此，数学谓戴德金分割的理论而成为现代实数理论的奠基人 。
与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科一些基本的记号
学知识体系中成为逻辑性最强的学科。到了19世纪末20世纪初，数学的高度公理化和形式逻辑 x?y 表示 x 和 y 所代表的对象是相同的，向数理逻辑的跨越发展，似乎一度取消了数学与 而 x?y 则表示 x 和 y 所代表的对象是不相同的；逻辑的分界线。在这个时期出现了逻辑主义学派
u?x 表示 u 是 x 的元素，
而 u?x 则表示 u 不是 x 的元素；（以罗素和弗雷格为代表），他们宣称数学与逻辑是一回事。罗素曾说：“逻辑即数学的青年时 若 x 和 y 是集合，则 x?y 表示 x 的元素都是 y 的元素，并称 x 是 y 的子集；代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有明 若 P?u? 表示元素 u 满足性质P，显的分界线，故数学与逻辑亦然。”
则 ?u?xP?u?? 表示 x 中所有满足性质 P 的元素 u 组成的集合；数学真的和逻辑是一回事吗？“数”的定义 P?Q 表示命题“若 P， 则Q”恒真，真的可以放心地交由逻辑去处理吗？——让我 而 P?Q 表示命题“P当且仅当Q”恒真 。罗素悖论
们还是走近逻辑的殿堂去看看吧。
§2.3 走近逻辑殿堂
以Ω表示所有集合收集在一起而成的集合，则数理逻辑又称符号逻辑，是用数学方法研究 ?中的元素被划分成两类：数学思维模式的科学。它把数学的推理方法及其 ?0??x??x?x? , ?1??x??x?x? .使用的语言作为研究对象，运用形式语言（人造
按康托的集合定义, ?0和 ?1都是集合。因此，符号语言）来表达思维形式的规则和结构。筑造 ?0??0 或 ?0??0 .请看下面的逻辑推理：起一个将思维规律的研究变换为对符号系统的 ? ?0??0??0??0 ，研究的理论体系。它既是数学，也是逻辑学。国 ? ?0??0??0??1??0??0 .际数学界把它列入“核心数学”（纯数学），而逻 矛盾不可避免！ 这就是著名的罗素悖论。 策墨罗的有限抽象原则
辑学界称它为现代逻辑。它发展到今天已形成四
策墨罗（Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand (1871-1953) ）德国数学家，建立了第一个公理集合论系统；他的工作使数学家们认识到选择公理的重要性。
罗素的悖论，表述简单而明确，不容置疑；其特点是只用到了“集合” 、“元素” 、“属于”这些最基本的概念，涉及的集合既符合康托的集合定义，又符合弗雷格的用概念的外延来确定集合的方法。从如此基本的概念出发竟推出了矛盾，这就表明康托和弗雷格的理论存在着令人恐惧的漏洞。
数学家们觉得之所以出现罗素悖论是因为集合概念太宽泛，太不严密了。按康托和弗雷格的想法，每个性质或条件可以确定一个集合，亦即每个概念可以确定一个集合；这叫做集合的概括原则，也叫做无限抽象原则。 怎能不加限制地使用概括原则呢？
观察概括原则的标准形式
s?就会发现：集合?u?xPs由性质P和论域?u??x所决定。策墨罗觉得罗素悖论的产生在于x“太大”所致；因此，定义一个集合应首先对论域x加以限制。基于这样的观点，策墨罗提出了一个“有限抽象原则”：
如果已有了一个集合x，又给了一个性质P，那么
s??u?xP?u?? 构成一个集合。
按有限抽象原则，罗素悖论可解释成是对
命题“所有集合组成的整体不构成一个集合。”的证明。
策墨罗提出了第一个公理集合论系统
策墨罗认为，避免悖论的最好办法是，通过用公理系统来定义集合，使集合概念恢复作为数学对象的特征。首先，策墨罗提出，任何数学对象之间只有一个“本原”关系 u?x，其它的关系由本原关系导出。然后，他提出康托的“朴素”集合语言中的运算，并以公理的形式陈述它们用到的性质。这些公理的第一条是所谓的外延公理，它给出了两个集合相等的条件。然后有一系列公理，断言空集φ的存在性、偶的集合的存在性、集合的子集的集合的存在性。在这些公理之上，他又添加了“选择公理”和断言无穷集合存在性的“无穷公理”。
培里（G. G. Perry）型悖论
考虑自然数集?， 并定义关于自然数的一个性质P如下： P 表示“不能由少于二十字的短语定义”。 那么，?被划分成下面两个不相交的子集: A??n??n不能由少于二十字的短语定义? , Ac??n??n可以由少于二十字的短语定义? 。 注意：Ac为有限集，从而A非空， A必然有最小数, 记为n 0； 显然， n0?A。 另一方面， n
0?不能由少于二十字的短???????????语定义的最小自然数?????????? ，共十九字又有n0?（培里告诉罗素这种类型的悖论）Ac， 即n0?A。 罗素提出了集合的层次理论 集合概念怎样引入才能消除悖论呢？罗素
提出了集合的层次理论。他认为集合也
规划的集合理论—— ZF-系统。集合论的这一公理系统首先
好，概念也好，都应当分层次地引入： 由策墨罗于1905年提出，
后经弗伦克尔于1920年修改完善而· 最基本的一层是第0层，此层的成，因此称作ZF-系统。这一系统是否可以抗击悖论侵袭呢？东西都是个体，不是集合；
迄今还没有人在此系统的框架内表述可以引出“悖论”的性质。
· 以第0层的个体为元素的集合是当今，绝大多数数学家使用ZF-系统，但通常不明确声明。第1层集合； 就数学家所关注内容而言，所有数学分支都可规约到集合论，
· 第2层集合的元素，只能是第0层因而最终都可规约到ZF-系统或ZFC-系统。
和第1层的成员；
理发师悖论
· 第3层集合的元素，只能是第0层、某村庄有一位理发师，他把村里的人分为两类：一类是第1层、第2层的成员； 自己不给自己理发的人；另一类是自己给自己理发的人。基 ……………
于此，他挂出了一张招牌，上写：
相应地，罗素把谓词、命题也都分“本人只给村中自己不给自己理发的人理发，请自己不给了层次和类型。用这种分层的办法，罗自己理发的人惠顾。”
素不仅去掉了悖论的困扰，而且还把算有人问：“那么您的头发由谁理？” 理发师瞠目结舌，无术归结到集合论。他与怀特海合作写了言以对。
一部巨著《数学原理》，把自己的思想这是罗素于1919年提出来的悖论，所以也叫“罗素悖论”。
观点详细地表述在这部著作里。
上帝是全能的吗？
但是，罗素的理论太复杂，太庞大了。数甲说：“上帝是全能的。”
学家们不倾向于接受罗素的宏大设计，而希望数
乙说：“全能就是什么事都能办到，对吗？那么请问，上
学能建立在简明可靠的牢固基础之上，用尽可能帝能造出一个连自己也举不起来的大石头吗？” 简单的方式解决悖论危机。
甲无法回答了。如果说不能，则上帝就不是全能的。如
怀特海（Alfred North Whitehead，1861-1947），果说能，则上帝造出的石头上帝自己也举不起来，说明上帝英国数学家、逻辑学家和哲学家。
仍然不是全能的。
对策墨罗的继承、批判和发展 这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也就能否定一切。策墨罗不承认由具有给定性质P的但他自己也在这一切之中，所以当他肯定一切的时候，同时对象构成的集合的存在性，除非这些对也就否定了自己能肯定一切。
象已是早先已定义的一个集合的元素。唐·吉诃德悖论
但是，在策墨罗所做研究的一般性水平
小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪
上，怎样理解“性质”这个词？策墨罗限于的法律，
每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”说“不管一个性质是否有用，它必须由公回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 理和普遍适用的逻辑规则以非任意的方 一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”旅
式确定”。显然，他心中的性质是以直到游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还
那时数学家所考虑的性质为典型。培里是错？究竟要不要把他绞死？如果说他回答得对，那就不要悖论表明他对“性质”的界定不够精密。
绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他对性质怎样表述适应数学家用法的回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。限制，从而避免像培里悖论中的那种寄实在是左右为难！
生式“性质”的陈述？弗伦克尔和斯科朗思考题
于1922年提出的解决办法在于在数学的1.叙述皮亚诺的自然数公理系统。
性质或关系的陈述中消除日常语言，代2.弗雷格-罗素定义的数满足皮亚诺公理吗？ 之以形式语言（一种人造符号语言），3.罗素悖论讲的是什么？策墨罗是怎样消除罗素它由固定一组初始符号按特定方式合成悖论的？（要求写清楚罗素悖论和策墨罗有限抽符号“词语”（原子公式），并将“词语”按象原则）
一套可以避免产生日常语义歧义的硬性4.你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的文法排列成用于表达性质或关系的陈述观点。
（合式公式）。
斯科朗（Skolem, Albert Thoralf; 1887-1963），挪威数学家，其工作涉及代数、数论和逻辑学。
从康托（1845 —1918）和弗雷格（1848 —1925）到策墨罗（1871---1953）和罗素（1872---1970），再到弗伦科尔（1891---1965）和斯科朗（1887---1963），经过三代人的探索和研究，终于形成了一套用形式语言和公理条款