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第二章 参数估计
考试要求：
理解：参数的点估计，估计量和估计值
了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计 掌握：矩估计法和最大似然估计法 会：验证估计量的无偏性 单个正态总体的均值和方差的置信区间 两个正态总体的均值差比的置信区间 数学三还要求：
掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法 单个正态总体的标准差，矩以及与其相联系的数字特征，置信区间的求法 两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法
会：用大数定律证明估计量相合性。
§1 点估计 一．点估计的概念
?(X,X,...,X)来估计未知参数?，统计量 用样本X1,X2,...,Xn构造的统计量?12n?(X,X,...,X)称为估计量，它所取得的观测值??(x,x,...,x)称为估计值，估计?12n12n量和估计值统称?的估计。
二．估计量的选择标准
?)?? 1． 无偏性：E(??和??都是?的无偏估计量，且D(??)?D(??)，则称??比?? 2． 有效性：如果?112212更有效
?????，称??为?的一致估计量 3． 一致性（相合性）：?P例 设总体X的数学期望存在，E(X)??，从来自总体X的样本X1,X2,...,Xn的样本
1n均值X??Xi，试证X是?的无偏估计量。
ni?1
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例 设总体的数学期望和方差分别为
?和?2，X1,X2是来自总体X的样本，记
??(1?a)X?aX X12?是?的无偏估计； （1）试证：X?)最小。 （2）确定a使D(X
§2 估计量的求法
一．矩估计法 用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数
1． 矩估计不必知道分布形式，只要矩存在 2． 可用中心矩，也可用原点矩
3． k个参数要求列出一阶至k阶矩方程
考试大纲只要一阶矩和二阶矩
?1和??2为一阶、二阶样本原点矩，g(??1,??2)4． ?1,?2为一阶、二阶原点矩，?就是g(?1,?2)的矩估计量。
二．最大似然估计法
1．似然函数
离散型
P(X?ai)?p(ai;?) i?1,2,...,
nL(?)?L(X1,X2,...,Xn;?)??p(Xi;?)
i?1连续型f(x;?)
L(?)?L(X1,X2,...,Xn;?)??f(Xi;?)
i?1n2．最大似然估计
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?(X,X,...,X) 使似然函数L(X1,X2,...,Xn;?)达到最大值的参数值?12n3．似然方程 ?为一维时，
dL(?)d(lnL(?))?0或?0 d?d?
??L(?1,?2)?0????1 ?为二维时，?
?L(?,?)12??0????2??lnL(?1,?2)?0????1或 ?
?lnL(?,?)12??0???2?
§3 区间估计
一．置信区间
对于给定的?(0???1)，如果两个统计量?1,?2满足P(?1????2)?1??，则称随机区间(?1,?2)为参数?的置信水平（或置信度）为1??的置信区间（或区间估计），简称为?的1??的置信区间，?1和?2分别称为置信下限和置信上限。 二．一个正态总体参数的区间估计 未知参数 1??置信区间 ?2已知 ? (X?U?2?n,???X?U?2?n) ?未知 2(X?t?2(n?1)SS,????X?t?2(n?1)) nn?2 三．两个正态总体参数的区间估计
未知参数 (n?1)S2(n?1)S2(2,????2) ??2(n?1)??(n?1)1?21??置信区间 ?1??2
?12,?22已知 (X?Y?u?2?12n1??22n2,????X?Y?u?2?12n1??22n2) 47
?12,?22未知，但(X?Y?t?2(n1?n2?2)Sw?12??22 ?12 2?2(n1?1)S12?(n2?1)S22 S?n1?n2?22w1111?),X?Y?t?2(n1?n2?2)Sw?) n1n2n1n2S12S121(2?,????F?2(n2?1,n1?1)) S2F?2(n1?1,n2?1)S2219例 设来自正态总体N(?,0.9)的样本值x??xi?5，则未知参数?的置信水平为
9i?120.95的置信区间是_______________。
例 （05）设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知，现从中随机抽
取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是
221111(A) (20?t0.05(16),20?t0.05(16)) (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16))
44441111(C) (20?t0.05(15),20?t0.05(15)) (D) (20?t0.1(15),20?t0.1(15))
4444
48