loading解：dz??z?z?z?zdx?dy，先求， ?x?y?y?x?z?yf?xy?f1??2x?f2??2x??yf?2x2y?f1??f2??， ?x?z?xf?xy?f1??2y?f2??2y??xf?2xy2?f1??f2??， ?y所以dz?yf?2x2y?f1??f2??dx?xf?2xy2?f1??f2??dy。 11．设f?xy,y?z,xz??0，求
?z?z，。 ?y?x????解：关于x求导，而z?z?x,y?，得
F1??y?F2???z?z???F3??z?x??0 ?x?x??即 F1??y?F3??z??F2??F3?x?得：
yF??2F3??z??1 ?xF2??F3??z?0 (*) ?x相仿地，可得
?zF2??xF1??。 ?yF2??xF3?12．设zx?yz?0，求dzx?1。
y?1z?1?z?F解：令F?z?y，??x?xxz?Fzxlnz， ??x?1z?zxz?ylny?z?F???y?ydz??Fzyz?1 ??x?1z?zxz?ylny?z?zdx?dy，于是在?1,1,1?处dz?dy。 ?x?y13．设z?f?rcos?,rsin??可微，求全微分dz。 解：dz?df?rcos??rsin?d???f1?d?rcos???f2?d?rsin?? ??cos?dr?rsin?d??f1???sin?dr?rcos?d??f2? ?f1??cos??f2?sin??dr??f2?cos??f1?sin??rd?。
14．设z?f?x,y?是由方程f?x?z,yz??0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求
?z?z和。 ?y?x解：方程两边求全微分，得
f1?d?x?z??f2?d?yz??0，即f1?dx?f1?dz?f2??zdy?udz??0，
即 f1?dx?zf2?dy??f1??yf2??dz?0，当f1??yf2???0时，解出 dz?f1?zf2?dx?dy
f1??yf2?f1??yf2?f1?zf2??z?z??，。 ?xf1??yf2??yf1??yf2?由此得到
15．求z?x2?y2??xy的偏导数。
解：令u?x2?y2，v?xy，则z?uv，z是x，y的复合函数。
?z?z?vuv?1，?uvlnu， ?u?v?u?v?u?v?2y，?x ?2x，?y，?y?y?x?x2?zv?1v22xy?2xy22????， 于是，?vu?2x?ulnu?y??x?y??2?ylnx?y2?xx?y??2?zv?1v22xy?2xy22????vu?2y?ulnu?x??x?y??2?xlnx?y? 2?y?x?y??x?y?z?0dxdy16．设?2，求，。 22dzdz?x?y?z?1解：所给方程组确定两个一元隐函数：x?x?z?和y?y?z?，将所给方程的两边对z求导，得
?dxdy???1??dzdz ?dxdy?2x?2y??2z?dzdz?在D?11?2?y?z??0的条件下
2x2y?111?1?2z2y2x?2zdxy?zdyz?x，。 ????dzDx?ydzDx?y17．设u?e解：
xyz?3u，求。
?x?y?z?u?yzexyz， ?x?2u??zyexyz?z?exyz?xyzexyz??z?1?xyz?exyz ?x?y?y???3u??1?xyz?exyz?zxyexyz?z?1?xyz?exyzxy
?x?u?z ??1?3xyz?x2y2z2?exyz.
18．求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?方向的方向导数。
?解：L??9?5,4?1,14?2???4,3,12?
?4312|L|?13，cos??,cos??，cos??。
131313因为
?u?u?u?u?cos??cos??cos? ?l?x?y?z ?所以
4312yz?xz?xy 131313?u?l??5,1,2?421298。 ?2??10??5?13141313x在点M?1,2,?2?沿x?t，y?2t2，z??2t4在此 点的
19．求函数u?x2?y2?z2切线方向上的方向导数。
解：因曲线过M?1,2,?2?点，所以t0?1，x??t0??1，y??t0??4，z??t0???8，切线的
?148?方向余弦为?,,??，又ux?999?M?y2?z2?x2?y2?z2?32M?8，类似地，uy27M??2，27uzM?2?u81242?8?16???????，故。
27?l2792792792436x2?8y2?20．求函数u?在点P处沿方向n的方向导数。
z??u?u?u??u解：gradu??,,?，
??x?y?z??x?u?y由则
?P6xz6x?8y?222P?614，
?P8yz6x?8y?2P?u?，
?z148?6x2?8y2z??14
P??u?gradu?n0，曲面的外侧法线向量为n??4x,6y,2z?P?2?2,3,1? ?u?u?68?1?2,3,1??11 。 ??,,?14???u?14147?1421．判断题：(简单说明理由) (1)
?f?x,y?就是f?x,y?在?x0,y0?处沿y轴的方向导数。
?y?x0,y0?解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。 (2)若f?x,y?在?x0,y0?处的偏导数在。
解：错。由于偏导数仅刻画了f?x,y?在?x0,y0?处沿x轴或y轴的变化率，要确定函数?x0,y0?处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在?x0,y0?处可微。
22．证明曲面x?y?z?4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
证：令F?x,y,z??x23?y23?z23?4。由于曲面F?x,y,z??0的法向量是?Fx,Fy,Fz?，
11?2?12?32?3?3故曲面上任一点?x,y,z?处法线方向向量为?x,y,z?，设?X,Y,Z?为点?x,y,z?33?3?232323?f?f，存在，则沿任一方向l的方向导数均存?y?y2?2?2?处切平面上任一点，则切平面方程为x3?X?x??y3?Y?y??z3?Z?z??0，即
333xX?yY?zZ?4，其截距式为
?13?13?13111X4x?13?Y4y?13?Z4z?13?1，由此得截距的平方和为：
16x23?y23?z23?16?4?64。
??23．证明：球面∑：x2?y2?z2?1上任意一点?a,b,c?处的法线都经过球心。