loading【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳
一、选择题
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．64 【答案】D 【解析】
B．
64 3C．16 D．
16 3
根据三视图知几何体是：三棱锥D?ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD?平面ABC,?ABC的面积
1116S??2?4?4，所以该多面体的体积V??4?4?，故选D.
233
2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．
3 4B．
7 8C．
15 16D．
23 24【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A?BCDE，
11?1?171???1??1?? 该几何体的体积为??32?2?28故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
AB3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存
在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 【答案】A 【解析】 【分析】
B．3 C．1+3 D．2
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就
是最小值． 【详解】
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，
Q|AB|?|AD|?3，|AA1|?1，?tan?AA1B?3?3,??AA1B?600．
1ooo所以?MA1D1=90+60=150
?MD1?A1D12?A1M2?2A1D1?A1Mcos?MA1D1?1?3?2?2?3?(?3)?7 2
故选A． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）
A．
2 3B．
1 3C．
1 2D．
3 4【答案】B 【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于
11?1?12=， 33选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
5．设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β B．若α⊥β，n∥α，则n⊥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】
由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：
在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n?β，故A错误； 在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n?β，故B错误； 在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误； 在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β， ∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
6．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段CB1上，且B1P?2PC，平面
?经过点A,P,C1，则正方体ABCD?A1B1C1D1被平面?截得的截面面积为（ ）
A．36 【答案】B 【解析】 【分析】
B．26 C．5 D．
53 4先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：
A,P,C1确定一个平面?，
因为平面AA1DD1//平面BB1CC1， 所以AQ//PC1，同理AP//QC1， 所以四边形APC1Q是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为B1P?2PC， 所以C1B1?2PC， 即PC?PB?1
所以AP?PC1?5,AC1?23 AP2?PC12?AC121? 由余弦定理得：cos?APC1?2AP?PC15所以sin?APC1?26 5