loading1．2 集合间的基本关系
考点 子集、真子集、空集的概念 学习目标 理解子集、真子集、空集的概念，会用列举法求有限集的所有子集 能用符号和Venn图表达集合间的关系，会判断两个集合间的关系 能根据集合的关系解决简单的求参问题 核心素养 数学抽象 集合关系的判定 数学抽象、逻辑推理 集合关系的应用 逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P7－P8，并思考以下问题：
1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？ 2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？
1．Venn图
(1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
(2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． ■名师点拨
表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
2．子集的概念
文字语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 ■名师点拨 “集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B. 3．集合相等的概念
符号语言 图形语言 A?B(或B?A) 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A?B，且B?A，则A＝B.
4．真子集的概念
文字语言 如果集合A?B，但存在元素符号语言 图形语言 x∈B，且x?A，就称集合A是B的真子集 ■名师点拨 AB(或BA) (1)若A?B，又B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B，且B?A. (2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关． (3)在真子集的定义中，A5．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集． (2)用符号表示为：?．
(3)规定：空集是任何集合的子集． ■名师点拨
?，0，{0}与{?}之间的关系 B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
相同点 ?与0 都表示无的意思 ?与{0} 都是集合 ?不含任何元素；{0}含一个元素0 ?{0} ?与{?} 都是集合 ?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是? ?{?}或?∈{?} 不同点 ?是集合；0是实数 关系 0?? 6．子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“∈”“?”的意义是一样的．( ) (2)集合{0}是空集．( )
(3)空集是任何集合的真子集．( )
(4)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．( ) (5)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( ) A．M 已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}， B．M∈N D．MN D＝{x|x是等边三角形}，则( ) A．A?B C．D?C B．C?B D．A?D 解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C?B. 下列四个集合中是空集的是( ) A．{?} C．{x|x<4或x>8} B．{x∈R|x＋1＝0} D．{x|x＋2x＋1＝0} 2 2 2 解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x＋1＝0无实数解，故选B. 已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A?B，则a＝________． 解析：因为A?B，所以a＋3＝1，即a＝－2. 答案：－2 集合间关系的判断 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1 (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}． 【解】 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A* * B. (3)正方形是特殊的矩形，故AB. * (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x－x＝0}关系的Venn图是( ) 2 解析：选B.解x－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N如选项B所示． 2．已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. 解析：集合A为方程x－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A22 2 M，其对应的Venn图 C；(3){2}C；(4)2∈C. 答案：(1)＝ (2) (3) (4)∈ 子集、真子集的个数问题 (1)(2019·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0 满足条件A2 CB的集合C的个数为( ) B．2 D．4 2 A．1 C．3 (2)已知集合A＝{x∈R|x＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为( ) A．－2 C．0 B．4 D．以上答案都不是 (3)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( ) A．3 B．6 C．7 2 D．8 【解析】 (1)由x－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}． (2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x＝a只有一个解；若方程x＝a只有一个解，必有a＝0. (3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为：2－2＝6. 【答案】 (1)B (2)C (3)B (变条件)若将本例(1)的条件改为{2，3}?C?{1，2，3，4，5}，试写出集合C的所有可能． 解：当C中含有两个元素时，C为{2，3}； 当C中含有三个元素时，C为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}； 当C中含有四个元素时，C为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}； 当C中含有五个元素时，C为{2，3，1，4，5}；所以满足条件的集合C为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}． (1)求集合子集、真子集个数的3个步骤 3 2 2 (2)与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 ①A的子集的个数有2个； ②A的非空子集的个数有2－1个； ③A的真子集的个数有2－1个； ④A的非空真子集的个数有2－2个． 若集合A个． 解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}； 若A中含有两个奇数， 则A＝{1，3}． 答案：5 {1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________ nnnn 由集合间的包含关系求参数 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1 围是________． 【解析】 由于B?A，结合数轴分析可知，m≤4， 又m>1，所以1 【答案】 1 1．(变条件)本例若将“B＝{x|1 解：若m≤1，则B＝?，满足B?A. 若m>1，则由例题解析可知1 2．(变条件)本例若将“B＝{x|1 解：因为B?A， ①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. －3≤2m－1，?? ②当B≠?时，有?m＋1≤4， ??2m－1＜m＋1，解得－1≤m<2. 综上得m≥－1. 3．(变条件)本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m}，其他条件不变，则实数m的值又是什么？ 解：因为B?A，所以m＝2m－1，即(m－1)＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}满足B?A.所以m的值为1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [注意] (1)不能忽视集合为?的情形． 2 2 2 (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 已知集合A＝{x|x＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B解：A＝{x|x＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为B2 2 A，求m的值． A， 所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝?. 当B＝{－3}时， 1 由m·(－3)＋1＝0，得m＝. 3当B＝{2}时， 1 由m·2＋1＝0，得m＝－. 2当B＝?时，m＝0. 11 综上所述，m＝或m＝－或m＝0. 32 1．下列命题中正确的是( ) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B?A，那么，若x?A，则x?B 解析：选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确． 2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( ) A．A?B C．AB．A?B D．AB B 解析：选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA. {a，b，c，d}的集合M共有( ) B．7个 D．15个 {a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素 3．满足{a}?MA．6个 C．8个 解析：选B.依题意a∈M，且Mb，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝ 7(个)． 4．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B?A，则a的值为________． 解析：由题意得1－2a＝3或1－2a＝a， 1 解得a＝－1或a＝. 3当a＝－1时， A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件． 1 当a＝时， 3 A＝?1，3，?，B＝?1，?，符合条件． ? ? ? 1?3? ? 1?3? 1 所以a的值为－1或. 31 答案：－1或 3 [A 基础达标] 1．(2019·衡水检测)已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B?A，则X可以取的值为( ) A．1，2，3，4，5，6 C．1，2，3，6 B．1，2，3，4，6 D．1，2，6 解析：选D.由B?A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6. 2．已知集合A＝{x|x－9＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A；②{－3}∈A；③??A；④{3，－3}?A. A．4个 C．2个 2 2 B．3个 D．1个 解析：选B.根据题意，集合A＝{x|x－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子： 对于①3∈A，3是集合A的元素，正确； ②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}?A，错误； ③??A，空集是任何集合的子集，正确； ④{3，－3}?A，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确． 3．已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x－3x－a＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( ) A．1 C．4 2 2 2 2 B．2 D．不确定 2 解析：选C.方程x－3x－a＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a>0， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以集合M有2个元素，所以集合M有2＝4个子集． ??k1k1 4．已知集合M＝?x|x＝＋，k∈Z?，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( ) 2442?? 2 A．M＝N B．MC．MN N D．M与N没有相同元素 k11k11 解析：选C.因为＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是 244424 整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M2 N.故选C. 5．已知集合P＝{x|x＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( ) A．1 C．1或－1 B．－1 D．0，1或－1 解析：选D.由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q?P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1. 6．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________． 解析：因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P. 答案：M＝P 7．已知?{x|x＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________． 解析：因为?1 ≤. 4 1 答案：a≤ 4 8．设A＝{x|－1 {x|x＋x＋a＝0}，所以方程x＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，a2 2 2 B，则a的取值范围是________． B可求得a≤－1，注意端点能否取到是正确 答案：a≤－1 9．判断下列集合间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x＝1}． (2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}． 2 (3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}． (4)A＝{x|x＝a＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a－4a＋5，a∈R}． 解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B2 2 A. (2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q. (3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}， ?B＝{x|2x－5≥0}＝?x?x≥?， ? ? ? 5? 2? 所以利用数轴判断A，B的关系． 如图所示，AB. (4)因为A＝{x|x＝a＋1，a∈R}＝{x|x≥1}， 2 B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B. 10．(2019·葫芦岛检测)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1 解：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}， 所以y＝3， 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2 ??2 ?2 [B 能力提升] 11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是( ) A．A?B C．BB．AB A D．A∈B 解析：选D.因为x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D. 12．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围． 解：集合A在数轴上表示如图． 要使A?B，则集合B中的元素必须都是A中的元素， 即B中元素必须都位于阴影部分内． 那么由4x＋m<0， 即x<－知，－≤－2， 44即m≥8， 故实数m的取值范围是m≥8. 13．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若B?A，求实数m的取值范围； (2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； (3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足题意； 当m＋1≤2m－1， 即m≥2时，要使B?A成立， 则有m＋1≥－2且2m－1≤5，可得－3≤m≤3，即2≤m≤3. 综上可知，当m≤3时，B?A. (2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为2－2＝254(个)． (3)因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且 8 mmx∈B同时成立， 所以A，B没有公共元素． 当m＋1＞2m－1， 即m＜2时，B＝?满足题意； 当m＋1≤2m－1， 即m≥2时，要使A，B没有公共元素， ???m≥2，?m≥2， 则有?或? ?m＋1＞5??2m－1＜－2，? 解得m＞4. 综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立． [C 拓展探究] 14．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________． 解：由题意知C?{0，2，4，6，7}，C?{3，4，5，7，10}，所以C?{4，7}．又因为C≠?，所以C＝{4}，{7}或{4，7}． 答案：{4}，{7}或{4，7}