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∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上， ∴当点F在DM上时，S△ABF最小， ∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60° ∴MD＝2
∴S△ABF的最小值6×（22）＝66 ∴S最大值2×3（66）＝﹣36
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60° ∵GD⊥EF，∠EFD＝60° ∴FG＝1，DGFG ∵BD2＝BG2+DG2， ∴16＝3+（BF+1）2， ∴BF1 ∴BG
∵EH⊥BC，∠C＝60°
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∴CH，EHHCEC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90° ∴△BGD∽△BHE ∴ ∴ ∴EC1
∴AE＝AC﹣EC＝7
8.（2019?南通）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点． （1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形； （2）当△PEF的周长最小时，求的值；
（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．
证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
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∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∵点A与点C关于EF所在的直线对称 ∴AO＝CO，AC⊥EF
∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO ∴△AEO≌△CFO（AAS） ∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF ∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，
∵四边形AFCE是菱形 ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∵AF2＝BF2+AB2， ∴AF2＝（4﹣AF）2+4， ∴AF ∴AECF ∴DE
∵点F，点H关于CD对称
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∴CF＝CH ∵AD∥BC ∴
（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点B作BO⊥FN于点O，
由（2）可知，AE＝CF，BF＝DE ∵EH⊥BC，∠A＝∠ABC＝90° ∴四边形ABHE是矩形 ∴AB＝EH＝2，BH＝AE ∴FH＝1 ∴EF， ∵AD∥BC ∴△BFN∽△AEN ∴ ∴
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∴BN＝3，NF ∴AN＝5，NE
∵∠N＝∠N，∠BON＝∠A＝90° ∴△NBO∽△NEA ∴ ∴ ∴BO，NO
∵∠EMP＝∠BMO＝45°，BO⊥EN ∴∠OBM＝∠BMO＝45° ∴BO＝MO
∴ME＝EN﹣NO﹣MO ∵AB∥EH ∴△BNM∽△GEM ∴ ∴ ∴EG
∴GH＝EH﹣EG ∵EH∥CD ∴△BGH∽△BPC ∴ ∴
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