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【试题来源】经典例题
【选题意图】本题主要是考察学生对构造梯形中位线和直角三角形斜边中线的知识. 【解题思路】从结论出发，本题为证明有关线段的不等式问题，于是我们将它与三角形边长关系联系起来，这就需要转化，构造梯形中位线和直角三角形斜边中线是本题转化的主要工具.
【解析】考虑如何在图形中建立AB?CD、AD?BC之间的联系，一般我们想办法先转化，把他们和某几条线段建立联系，然后放在一个三角形中讨论。在这道题中，我们首先能想到的是如何转化AD?BC，可以做出梯形的中位线EF，则有EF?1?AD?BC?，而2AC?BD，使我们联想到直角三角形斜边的中线.
解：结论：AB?CD?AD?BC.证明如下：
分别取AB、CD的中点E、F，连接OE、OF和EF，则有
1?AD?BC? 211OE?AB,OF?CD.
22EF?显然梯形ABCD中E、O、F三点不会共线. ∴在△EOF中有OE?OF?EF. 即
11?AB?CD???AD?BC?. 22∴AB?CD?AD?BC.
【小结与思考】本题通过转化将所证明的线段转化到同一个三角形中，利用三角形边的关系解决问题，本例中用到了梯形的中位线的性质，同时还运用到了直角三角形斜边中线的性质，本例将中点的作用发挥的淋漓尽致.另外，思考一下为什么梯形ABCD中E、O、F三点不会共线.
【搭配课堂训练题】
1. 如图14，在△ABC中，BE、CD分别为?ABC与?ACB的平分线，AM?CD于点M，AN?BE于点N，连接MN，求证：MN∥BC. 【难度分级】C类
BDMAENC〖试题来源〗经典例题 〖答案〗
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图14 学有方初三数学 · 寒假课程
证：延长AM，AN分别 交BC于点G，点H，
∵在△ABC中，BE、CD分别为?ABC 与?ACB的角平分线， AM?CD于点M，AN?BE于点N ∴在?ACM和?GCM中，
??ACM??GCM? ?CM?CM
??AMC??GMC?90?? ∴?ACM≌?GCM（ASA） ∴AM?GM， 同理AN?HN， ∴在?AGH中，
MN∥GH且MN? ∴MN∥BC.
2. 如图16，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18 cm， MN=8 cm，求AB的长. 【难度分级】B类 〖试题来源〗经典例题 〖答案〗
解： ∵AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点
∴EN?ADGH图15 1且等于第三边的一半) GH(三角形的中位线平行于第三边，
2图16 11AB,FM?AB 22OF ∴EN?FM?AB，
∵EN?FM?EN?MN?FN?EF?MN ∴AB?EF?MN?18?8?26cm
3. 如图17，AE为正方形ABCD中?BAC的平分线，AE分别交BD、BC于点F、E，AC、BD相交于点O. 求证：OF?BEC图17 1CE. 2【难度分级】B类
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〖试题来源〗经典例题 〖答案〗
证：过C作CM⊥AC交AE的延长线于M点， ∵正方形ABCD，AC、BD相交于点O， ∴O为AC的中点，且OF?AC， ∵CM?AC
∴OF∥CM，且OF?1CM 2 ∵AE为正方形ABCD中?BAC的平分线，CM?AC ∴?CME??AEB??CEM， ∴CM?CE， ∴OF?M图18 1CE. 2（四）四边形的中点
概念： 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
性质： 中点四边形的形状始终是平行四边形，且中点四边形的面积为原四边形面积的一半.
例6 如图19，△ABC与△CDE都是等边三角形，
且B、C、D三点共线，分别取AB、BD、DE、EA边的中点M、N、P、Q，连接
MN、NP、PQ、QM，试判断四边形MNPQ的形状，说明理由.
AQEMPBNCD图19 【难度分级】B类
【试题来源】2010甘肃酒泉中考
【选题意图】本题主要是考察学生对中点四边形知识的掌握..
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【解题思路】本题出现了中点四边形，显然四边形MNPQ为平行四边形，另外，这里出现了两个有共同顶点的正三角形，这就很容易构造全等三角形，从而判断出MNPQ为何种特殊的平行四边形.
【解析】题中出现了四个中点，很显然联想到中点四边形的知识，依据中位线的性质，很容易判断出四边形MNPQ为平行四边形，由于△ABC与△CDE都是等边三角形，我们知道，两个正多边形有一个顶点重合时，很容易出现依据SAS判定的一组全等三角形，因此，这里我们连接AD、BE，依据全等可得AD?BE，再利用三角形中位线的性质可得到四边形MNPQ为菱形.
解：四边形MNPQ为菱形，证明如下： 连接AD、BE，
∵△ABC与△CDE都是等边三角形
∴BC?AC,CE?CD,且?ACB??ECD?60?. ∴?BCE??ACD ∴△BCE≌△ACD(SAS) ∴AD?BE
∵M、N、P、Q分别为AB、BD、DE、EA边的中点 ∴MQ//1111BE,NP//BE,MN//AD,PQ//AD. 2222∴MQ//NP,MN//PQ. ∴四边形MNPQ为平行四边形， 又∵AD?BE， ∴MQ?MN ∴□MNPQ为菱形.
【说明】我们在遇到两个正多边形有一个顶点重合时，要想到这里会出现依据SAS判定的一组全等三角形，如果能联想到这样的一组三角形，对我们解决问题会有很大的帮助，因而，记住一些结论和基本图形会有助于我们思考问题.
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